Prohibido entrar: Derivada de Lie y transporte de Lie de manera intuitiva

La derivada de Lie es una forma de derivar en variedades diferenciales cualesquiera. Consideremos un campo vectorial $X$ en una variedad $M$. Usando el flujo de dicho campo, que denotaremos $X_t$ para cierto $t$ pequeño, y más concretamente su diferencial $d X_t$ podemos trasladar vectores de otro campo $Y$ entre las fibras tangentes de $p$ y $X_t(p)$. El vector de llegada $d X_t(Y(p))$ y el vector $Y(X_t(p))$ podrán coincidir o no. Si coincinden es que hay ``cierta compatibilidad'' entre ambos campos.

También podemos ``tirar hacia atrás'' con $d X_{-t}$ para comparar el vector $Y(p)$ con el que ha ido y ha vuelto $d X_{-t}(Y(X_t(p)))$. La diferencia entre estos vectores dividido entre $t$ es la tasa de variación del campo $Y$ fijando como referencia el campo $X$. A esa cantidad se le llama derivada de Lie:

$$ \mathcal{L}_X(Y)=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{d X_{-t}(Y(X_t(p)))-Y(p)}{t}$$

Se puede demostrar que
$$ \mathcal{L}_X(Y)= \frac{d}{dt}\left( d X_{-t}(Y(X_t(p))) \right)_{t=0}$$

Y también que coincide con el corchete de Lie:

$$ \mathcal{L}_X(Y)=[X,Y]$$

De hecho, se puede demostrar que la anulación del corchete implica la conmutatividad de los flujos de ambos campos para incrementos pequeños, lo cual es una idea muy parecida a la presentada más arriba.

Se puede hablar también de ``transporte de Lie'' de un vector $Y$ a través de un campo $X$. Consistiría en aplicar $d X_t( \cdot )$ al vector $Y$ para llevarlo a distintos sitios. Aunque puede parecer similar al ``transporte paralelo'', hay muchas diferencias:

- El transporte de Lie se puede visualizar, de manera intuitiva, como el transporte de un río. No tiene que conservar el paralelismo real, sino que depende de la ``corriente de ese río particular'', o sea, del campo $X$ seleccionado. De hecho, no tiene por qué haber una idea de paralelismo de fondo, ya que la variedad no tiene por qué contar con un producto escalar o algo para medir ángulos ni distancias...

Siguiendo con la interpretación del río, la derivada de Lie $\mathcal{L}_X(Y)$ nos mide cómo varía el campo $Y$ para un observador que está fluyendo en el río.

-No permite transportar un vector $Y$ en $p\in M$ a un punto arbitrario $q\in M$, sino que sólo lo lleva a puntos de la órbita $\{X_t(p), t \in (a(p), b(p))\}$.

- El transporte de Lie no sólo depende de la curva uniendo los puntos, sino de todo el campo de vectores de alrededor, de todo el flujo. En cambio para el transporte paralelo sólo influye la curva seleccionada para unir los puntos.

Puedes encontrar más ideas matemáticas y físicas explicadas de manera intuitiva en mi otro blog: what I have learned today.