19 mar 2019

Tipos de sistemas de ecuaciones


[Público: 4º ESO-1º Bachillerato]

Los sistemas de ecuaciones constituyen una gran fauna matemática. Por eso es necesario clasificarlos, para poder saber a qué nos enfrentamos. Hay varias clasificaciones:



  • Según el número de incógnitas: obvio.



  • Según la complejidad de las ecuaciones que forman el sistema. Si las ecuaciones que lo constituyen son las más simples posibles (polinomios de primer grado) estaríamos ante un sistema lineal. El porqué del nombre quedará claro en otra entrada. Todos los demás se llaman no lineales.



  • Según las soluciones. Un sistema que no tenga soluciones se dice que es incompatible. El sentido del nombre es que las ecuaciones se interpretan como condiciones que estamos imponiendo a las incógnitas. Pues bien, si no hay solución es porque hemos pedido unas condiciones que no son compatibles entre sí. Cuando sí la hay pues, como es lógico, decimos que el sistema es compatible. Ahora bien, puede ocurrir que sólo haya una solución, y decimos que el sistema, además de compatible es determinado. Si hay infinitas soluciones se dice que es compatible pero indeterminado, pues todavía podríamos pedir alguna condición más a las incógnitas.


Con un ejemplo se verá más claro. Si te digo que tengo dos números que suman 8 tendremos el ``sistema de ecuaciones'' (aunque sólo sea una):
$$
\left\{\begin{array}{l}
{x+y=8}
\end{array}\right.
$$

Lógicamente es un sistema con solución, de hecho, infinitas soluciones: la pareja 3 y 5, la pareja 2 y 6, etcétera. Por eso, aunque es compatible es indeterminado.

Si imponemos una condición más, por ejemplo, el segundo es el triple del primero, tendríamos un nuevo sistema:

$$
\left\{\begin{array}{l}
{x+y=8} \\
{y=3x}
\end{array}\right.
$$


Y ahora sí, tenemos una solución concreta, sin género de duda, el par de números (2,6). Por eso el sistema es compatible determinado.

Pero imagina además que introduzco una condición más: la suma del primero más el doble del segundo da 13:
$$
\left\{\begin{array}{l}
{x+y=8} \\
{y=3x}\\
{x+2y=13}
\end{array}\right.
$$

En este caso es imposible que haya solución, pues los únicos números que cumplen las dos primeras condiciones son el 2 y el 6, y al aplicarle la tercera dan 14, no 13. Se trata de un sistema incompatible.

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