2 abr 2019

Resolución gráfica de sistemas o cómo VER el álgebra

[Público: 4º ESO-2ºBach]

En el siglo XVII René Descartes tuvo una idea que cambió la historia de la ciencia en general, y de las matemáticas en particular: se dio cuenta de que podía asociar a cada punto del plano una pareja de números.



¿Cómo? Pues eligiendo un punto concreto y trazando dos rectas perpendiculares a través de él, los famosos ejes cartesianos.

Una vez fijados estos tres elementos de referencia y una unidad de longitud, podemos localizar cualquier punto a partir de dos cantidades: proyectamos el punto perpendicularmente hacia ambos ejes, y medimos la distancia al origen de ambas proyecciones. Parece complicado pero es una tontería, como se ve en el dibujo.  Hay tantos puntos en el plano como parejas de números reales. Ni uno más ni uno menos. A la parejita de números asociada a un punto se les llama coordenadas cartesianas de dicho punto.

Así pues, desde ese momento, tuvimos una forma de movernos con el plano con total seguridad, evitando cualquier ambigüedad sobre nuestra posición. Esta idea fue, entre otras muchas cosas, la tatarabuela de la idea que permitió crear los GPSs.



¿Y esto qué tiene que ver con los sistemas de ecuaciones? Imagina que tenemos una sola ecuación de dos incógnitas. Como dijimos en una entrada anterior, podría haber muchas parejas de números que cumplan la condición (sistema compatible indeterminado). ¿Qué ocurre si dibujo en el plano todos los puntos correspondientes a esas parejas de números? ¡Pues que aparecerá una figura! Por ejemplo, la ecuación de la imagen de la izquierda admite como parejas válidas un montón de puntos del plano que unidos entre sí dan lugar a ese corazón.

Cuanto más simple es una ecuación, más simple es su dibujo asociado. Por ejemplo, las ecuaciones más sencillas son las que tienen pinta de polinomio de grado 1. Son llamadas lineales y se sabe que su dibujo será una línea recta.  Por ejemplo, busquemos una representación para la ecuación
$2x-y=4$:



Cuando las ecuaciones son más sofisticadas aparecen dibujos más exóticos. Por ejemplo,

 $$
\left(x^{2}+y^{2}-3\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4}+\sin \left(8 \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \cos \left(6 \tan ^{-1} \frac{y}{|x|}\right)-\frac{3}{4} \sin \left(5 \tan ^{-1} \frac{y}{|x|}\right)=0
$$

da lugar al dibujo



Por otra parte, si en lugar de dos incógnita tuviésemos tres nos estaríamos adentrando en el mundo tridimensional. Al igual que los puntos del plano se identifica con parejas de números, los del espacio se identifican con tripletes de números. Por ello, una ecuación de tres incógnitas nos está dando lugar a una colección infinita de puntos del espacio:


Pero quedémonos en las dos dimensiones. ¿Qué pasa si tenemos varias ecuaciones? Pues que tenemos varios dibujos, obvio. Pero hay algo más. Cada punto del primer dibujo es una combinación de valores de las incógnitas que hacen cierta la primera ecuación. Cada punto del segundo dibujo se traduce en unos valores para las incógnitas que hacen cierta la segunda. Luego los puntos donde se cortan las dos dibujos son...  ¡las soluciones del sistema!


En el caso particular de dos ecuaciones lineales, pueden ocurrir tres situaciones, como ya conocemos:



4 comentarios:

  1. Matemáticamente, no me interesa nada de lo escrito. Dos dimensiones, qué aburrido. Pero me encantan sus dibujos a mano. Son tiernos y a la vez sofisticados. Aparentemente sencillos y sutiles, infantiles pero intrincados, retorcidos e inocentes como una película porno de los años treinta.
    Veo en usted muchas posibilidades como delineante.

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  2. Me gustaría conocer su opinión sobre la hipótesis de Riemann. ¿Es usted guapo?

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  3. Perdón, ¿la ecuación que da lugar al dibujo "exótico" es un autorretrato?

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