25 abr 2019

[Las matemáticas desde el principio] Los números naturales II

[Público: Licenciatura Matemáticas y bichos raros]

En la entrada anterior de esta serie vimos la definición de cada número natural. Resumiendo: el 0 no es más que el conjunto vacío $\emptyset$, y puesto que podíamos crear el "siguiente de un número", $S(n)$, podíamos definir cualquier natural.

También vimos cómo podíamos definir la "suma de dos números", gracias al "siguiente".

Pero quedó pendiente la definición del propio conjunto $\mathbb{N}$, es decir, el saco donde estén todos los números naturales metidos. Recuerda que en esta entrada introdujimos el Axioma del Infinito.  Copio y pego lo que decía allí:

Axioma VIII (del infinito): Existe al menos un conjunto $a$ que verifica:

  1. $\emptyset \in a$
  2. Para cada $b \in a$ se verifica que $b \cup \{b\} \in a$.
Los conjuntos que verifican las dos condiciones anteriores se llaman (definición) conjuntos inductivos, por lo que el axioma podría enunciarse como "existe al menos un conjunto inductivo"

Pues bien, los números naturales como un todo, el archiconocido $\mathbb{N}$, no es más que el menor de todos los conjuntos inductivos. ¿Cómo podemos formalizar eso del "menor"? Pues haciendo la intersección de todos ellos, o dicho de otra forma, usando el axioma III (de separación) que vimos aquí, para definir
$$
\mathbb{N}=\{n | n \in I \text { para cada conjunto inductivo } I\}
$$

Insisto en una cosa: hemos podido definir esto porque tenemos el axioma adecuado. Y, de paso, también en otra: los axiomas no son lo mismo que las definiciones. Un axioma es una verdad que hay que creer. Una definición es un nombre que le ponemos a algo que ya existe, para poder hablar de ello de forma más corta.

Es decir, por definición de conjunto inductivo, todos ellos contienen a los naturales: 0, 1, 2, ... Y recíprocamente, los naturales son aquellos objetos que están en todos los $I$ inductivos al mismo tiempo.

La hoja de ruta a partir de aquí sería la siguiente:
- demostrar que la suma cumple propiedades coherentes con las de nuestra idea intuitiva de suma (si no tendríamos un concepto perfectamente definido pero sin relación con la realidad, y eso es como tener un tío en "Graná")
- definir la relación de orden, y ver que es coherente con la de nuestra intuición.
- definir la multiplicación y, otra vez, ver que cuadra con nuestra experiencia cotidiana.

Pero yo todo eso no lo voy a hacer, no tengo ganas. Además, no es ese el objetivo de estas entradas, para ello hay libros perfectamente escritos y no este mamarracho. La idea de este mamarracho es dar una visión general de la formalización de las matemáticas, sin meternos en los detalles. Su objetivo es evitar el fenómeno "los árboles no me dejan ver el bosque", del que tanto pecan los textos de matemáticas.

¿Entonces cuál será el paso siguiente? Pues lo más "natural" después de los naturales es hablar de los números enteros.

Puedes encontrar más ideas matemáticas y físicas explicadas de manera intuitiva en mi otro blog: what I have learned today.

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