30 nov 2018

[Las matemáticas desde el principio] Los números naturales I


[Público: Licenciatura Matemáticas]

¡Cómo pasa el tiempo! Parece que fue ayer cuando escribí las otras entradas de esta serie. Ha llovido mucho desde entonces, muchas cosas han cambiado. Pero los números naturales no, ellos siguen igual, ellos son eternos.
Habíamos quedado en que el pensamiento humano tiene unos objetos básicos, unas ideas primarias, que no tienen explicación en términos de otras. Los matemáticos pasamos por esa dificultad definiéndolos axiomáticamente. Para el que no se acuerde, le resumo que "axiomáticamente" es una forma refinada de decir lo que me decía mi madre cuando yo era pequeño: ¡porque lo digo yo! Bueno, esto no es totalmente cierto, pero ahí queda la idea...

Los axiomas de Zermelo-Fraenkel sirven para fijar qué es un conjunto, que como ya se dijo es el objeto básico con el que se construyen todas las ideas matemáticas. Nos los tenemos que creer lo cual es un poco triste... pero la buena noticia es que es lo último para lo que nos va a hacer falta la fe. Todo lo demás será deducido usando la razón pura. En particular, vamos a ver aquí que LOS NÚMEROS NATURALES EXISTEN. De hecho, vamos a construirlos. Todo lo que sabemos desde que estamos en el colegio: que 2 más 2 es 4, que 5 por 8 es lo mismo que 8 por 5,... TODO se podrá demostrar.

A estas alturas alguien se estará diciendo: vaya ida de olla. ¿Tanto jaleo para demostrar lo que ya se sabe? Bueno, los matemáticos somos así. Otros podrán coger tres garbanzos y echarlos en un vaso, luego dejar caer cuatro y al final contarlos y obtener siete. Cuando terminen podrán hacer casi lo mismo pero al revés: echar cuatro garbanzos y luego tres, y finalmente obtener, nuevamente, siete. Dejándose llevar por la euforia proclamarán: el orden no importa, puedo sumar dos números $a$ y $b$ haciendo $a+b$ o $b+a$, da igual, va a salir lo mismo.

Pero los matemáticos no, nosotros no somos de esos. ¿Quién te dice a ti que porque funcione con el 3 y el 4 ya va a funcionar con el 15 y 38?, ¿o con el 156899874 y el 78877844456456? Nuestra misión en la ciencia es ser el "cuñao pejiguera". Y el tiempo nos termina dando la razón. Hemos construido un gigantesco castillo con mucha paciencia; un castillo que ha permitido a los seres humanos salir al espacio o adivinar el tiempo que va a hacer mañana. Y no queremos que se nos caiga por los cimientos.

Pero volvamos a los conjuntos. Dado un conjunto cualquiera, los axiomas que vimos aquí garantizan la siguiente definición:
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Definición (sucesor). Dado un conjunto $a$ llamaremos sucesor de $a$ y lo denotaremos por $S(a)$ al conjunto $a \cup \{a\}$.
............................................................................................... Esto puede sonar un poco raro. Piénsalo de la siguiente forma: si tenemos el conjunto $E=\{Cáceres, Badajoz\}$ el sucesor sería

$S(E)=\{Cáceres, Badajoz, E\}=\{Cáceres, Badajoz, \{Cáceres, Badajoz\}\}$.

Ojo, nadie ha dicho que un conjunto no pueda ser elemento de otro conjunto...

Antes de seguir, experimenta tú mismo: ¿cuál sería el sucesor del conjunto de "días de la semana"?, ¿y el de los meses del año?

Ahora, por otra parte, recuerda lo que era el conjunto vacío $\emptyset$ (insisto, lo vimos aquí).
¿Ya lo tienes? Pues bien, ya tenemos las dos herramientas básicas para fabricar todos los números naturales. Básicamente, la definición de sucesor es como tener preparado una gigantesca pista de fichas de dominó. Y el conjunto $\emptyset$ es el empujón inicial. Ya sólo nos queda observar la magia.

Definimos, por fin, el número 0 como $\emptyset$. El número 1 lo definimos así:

$1=S(0)=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$

Del mismo modo, tenemos el número 2:

$2=S(1)=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$

Y así sucesivamente:

$3=S(2)=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\}$

$4=S(3)=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\},\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\}\}$

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Así ya tenemos, rigurosamente, una definición para cada número natural. Ya sabemos lo que son. Ya sabemos que EXISTEN (siempre y cuando nos creamos los axiomas, claro). Además, estamos en condiciones de definir la suma de dos números naturales.
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Definición. Sean $n$ y $m$ dos números de los obtenidos por el procedimiento anterior. Distinguimos dos casos:
Caso a. Si $m=0$, entonces definimos $n+m=n$
Caso b. Si $m \neq 0$, entonces debe ser $m=S(p)$, para cierto $p$ (su anterior), y así pues definiremos $n+m=S(n+p)$
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Así, por ejemplo, ¿cuánto sería 2+1? Puesto que 1 no es 0, nos encontramos en el caso b. Y sabemos que 1=S(0), luego

2+1=S(2+0)

Pero, ¿quién es 2+0? Bueno, esta es fácil, estaríamos en el caso a, y por tanto 2+0=2. Por lo tanto

2+1=S(2),

que, por definición, es 3.

Del mismo modo, podemos demostrar que 2+2=4. Estaríamos en el caso b,  y puesto que 2=S(1) tendremos
2+2=S(2+1).

Como 2+1=3, tendremos que

2+2=S(3)=4.

Así que ya podemos dormir tranquilos, ya no tendremos que creernos que 2+2 es 4, por fin tenemos una demostración de que 2+2=4.

Pero ahora tenemos otros problemas. Por ejemplo, ¿existe el conjunto de todos los números naturales ($\mathbb{N}$)? Y también, ¿la suma así definida cumple todas las propiedades que se esperan de ella? Pues bien, todo esto y más para la próxima.

2 comentarios:

  1. ¿Para la próxima cuándo? Porque han pasado ya más de dos meses (E=Diciembre+Enero)y el resultado sigue siendo 0. Es usted muy listo pero muy informal.
    Por cierto ¿es usted guapo?

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