5 ene. 2011

[Las matemáticas desde el principio] Pero, ¿qué es un conjunto? I

   En esta entrega de la serie Las matemáticas desde el principio nos preocuparemos por desentrañar qué es un conjunto. Pero, como diría MorfeoPor desgracia, no se puede explicar lo que es un conjunto.

   Como ya vimos, Cantor creó la teoría de conjuntos porque se percató de que era el concepto básico en el que apoyar las matemáticas, pero no fue capaz de apuntalar sus cimientos. Para salir del bache, Zermelo decidió dar por sentado la noción de conjunto, pasar de definirlos.

   ¿Es esto científico?, ¿es ético? Puede parecer que Zermelo tenía la cara más dura que el cemento, pero no hay nada de inmoral en su asunción. Pues a poco que lo pensemos, en el cerebro humano hay muchas nociones primarias que no tienen explicación: ¿qué significa ser?, ¿qué significa significar?

   Así que a continuación voy a mostrar, de manera no completamente formal, los axiomas que eligieron Zermelo y Fraenkel para sistematizar el mundo de los conjuntos:

Axioma I: Existen unos objetos abstractos que llamaremos conjuntos, y existe también una relación entre ellos llamada pertenencia. Denotaremos los conjuntos con letras del abecedario, y la pertenencia con el símbolo $\in$. Así, si tenemos dos conjuntos $x$ e $y$ de manera que $x$ pertenece a $y$ escribiremos $x\in y$. En ocasiones también se dice que $x$ es un elemento de $y$, para querer decir lo mismo. La negación de este hecho se expresa mediante $x\notin y$.
Este axioma no lo he encontrado explícitamente en ningún sitio, pero ha sido una decisión personal el incluirlo porque creo que queda más clara la formulación. Quiero hacer hincapié en que aquí las palabras conjunto, pertenencia y elemento carecen de significado. Es decir, el lector es libre de interpretarlas en su mente como [conjunto=bolsa], [pertenencia=estar dentro de la bolsa],... pero eso ya es cosa suya. Aquí nos preocupa la forma, y no el contenido (por eso a este proceso lo llamamos formalización de la matemática).

Axioma II (axioma de extensionalidad): Dos conjuntos son iguales cuando, y sólo cuando, tienen los mismos elementos.
   O utilizando la notación que estamos estableciendo, $x=y$ si y sólo si dado cualquier $a\in x$ entonces $a\in y$, y viceversa. Resulta obvio que si dos conjuntos (sea lo que sea que signifique esa palabra) son iguales, entonces deben tener los mismos elemento. Lo que verdaderamente establece este axioma es que si tienen los mismos elemento, entonces son iguales. Es decir, lo que da identidad a un conjunto son los elementos que contiene. Puede parecer una obviedad, pero no lo es si nos desprendemos del conocimiento previo que tenemos de estas palabras.

Axioma III (de separación): Para todo conjunto $a$ y toda propiedad $\mathcal P$ existe un conjunto $b$ tal que $c \in b$ si y sólo si $c \in a$ y $c$ cumple la propiedad $\mathcal P$.


   Este axioma consiste verdaderamente en una colección de infinitos axiomas. Nos permite extraer un conjunto a partir de otro existente sin más que fijar restricciones. Esto modeliza un hecho muy natural de nuestro pensamiento: si tengo en mi mente el conjunto de los meses del año, también puedo pensar en el conjunto de los meses del año que tienen 31 días.

   Este axioma nos permite además la siguiente jugada. Tomemos como propiedad $\mathcal P$ la siguiente: un conjunto $x$ tiene la propiedad $\mathcal P$ si y sólo si $x \neq x$. Está claro entonces que, si tomamos un conjunto $a$ y extraemos el conjunto $b$ garantizado por el axioma III aplicado a esta $\mathcal P$, dicho conjunto extraído no puede tener ningún elemento, y como es especial lo llamamos conjunto vacío, y lo representamos con el símbolo $\emptyset$. Esta es nuestra primera definición en toda regla. Ojo, una definición no es más que una abreviatura, y método para ahorrarnos trabajo, pero no aporta ningún contenido nuevo. Podríamos estar indefinidamente diciendo "consideremos el conjunto que aparece como resultado de aplicar el axioma III a la propiedad $c \neq c$", pero es mucho más conciso y útil decir "consideremos $\emptyset$". Como todos sabemos, las definiciones se suelen expresar aparte del texto principal, con una tipografía distinta, para que sean fácil de localizar cuando estamos leyendo un texto largo que involucre varias de ellas.

Definición (conjunto vacío). Llamaremos conjunto vacío a...


   Otra bondad de este axioma es que evita la terrible paradoja de Rusell, pues para poder crear nuevos conjuntos que verifiquen una determinada propiedad nos exige que sus elementos existan previamente. Así, como mucho Rusell podría plantearse la existencia del conjunto $b$ formado por los $x\in a$, para cierto $a$ prefijado, tales que $x \notin x$. Y la respuesta a la pregunta "¿será $b \in b$?" es negativa (piénselo el lector, incluso asumiendo que $b \in a$).

   Pero todavía tiene una utilidad más. Dados dos conjuntos $a$ y $b$, podemos utilizarlo sobre $a$ con la propiedad de pertenencia a $b$, de manera que obtenemos el conjunto $\{c \in a: c \in b\}$ que denominamos intersección de $a$ y $b$, o simplemente $a \cap b$. Obviamente, se puede generalizar a la siguiente definición

$\bigcap a=\{d \in b: d\in c \text{ para cada } c \in a\}$, siendo $b$ un elemento arbitrario de $a$.


   Antes de pasar al siguiente axioma vamos a fijar una notación (viene a ser lo mismo que una definición, pero con menos aires de grandeza) que nos va a facilitar el uso de este axioma. Para indicar que consideramos el conjunto $b$ formado a partir de los elemento de $a$ que cumplan $\mathcal P$ escribiremos simplemente:
 $b=\{x \in a: x \text{ tiene la propiedad } \mathcal P\}$

Axioma IV (de la unión): Para todo conjunto $a$ existe un conjunto $b$ tal que $d \in b$ si y sólo si $d \in c$ para algún $c \in a$.
   Es decir, dado el conjunto $a$ existe otro conjunto $b$ que es el resultado de unir los elementos de todos conjuntos que son asimismo elementos de $a$. Gráficamente se puede interpretar así:



   A este conjunto se le suele denotar $\bigcup a$.

Axioma V (de las partes): Para todo conjunto $a$ existe un conjunto $b$ tal que $x \in b$ si y sólo si $x \subset a$.
   No hemos introducido la notación $\subset$, pero es muy intuitiva. Dados dos conjuntos $m$ y $n$ diremos que $m \subset n$ si y sólo si para $x \in m$ se tiene necesariamente que $x \in n$.
   Por otra parte, el conjunto $b$ cuya existencia garantiza el axioma IV se denota $\mathcal P (a)$

   Bueno, y para que la entrada no se haga muy larga lo dejaremos aquí. Ya seguiremos con el resto de axiomas que permiten formalizar nuestro pensamiento en lo referente al tema de conjuntos en la siguiente entrada. También puedes volver al índice.

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