2 oct. 2020

Trabajo de investigación


 

 

 Hace años (2007) realicé el trabajo de investigación conducente a la obtención del DEA. Aunque ahora me dedico a otros temas, lo dejo aquí por si pudiese tener interés para alguien:

El haz tangente de foliaciones holomorfas

Por otra parte, recuerdo que tengo un nuevo blog, con contenido más técnico y en inglés.

1 jul. 2020

Nuevo blog

Acabo de crear un nuevo blog. Se llama "What I have learned today". En él pretendo incluir todas mis anotaciones de física y matemáticas (totalmente informales) por si pudieran servir de algo a alguien.

La dirección es

25 abr. 2019

[Las matemáticas desde el principio] Los números naturales II

[Público: Licenciatura Matemáticas y bichos raros]

En la entrada anterior de esta serie vimos la definición de cada número natural. Resumiendo: el 0 no es más que el conjunto vacío $\emptyset$, y puesto que podíamos crear el "siguiente de un número", $S(n)$, podíamos definir cualquier natural.

También vimos cómo podíamos definir la "suma de dos números", gracias al "siguiente".

Pero quedó pendiente la definición del propio conjunto $\mathbb{N}$, es decir, el saco donde estén todos los números naturales metidos. Recuerda que en esta entrada introdujimos el Axioma del Infinito.  Copio y pego lo que decía allí:

Axioma VIII (del infinito): Existe al menos un conjunto $a$ que verifica:

  1. $\emptyset \in a$
  2. Para cada $b \in a$ se verifica que $b \cup \{b\} \in a$.
Los conjuntos que verifican las dos condiciones anteriores se llaman (definición) conjuntos inductivos, por lo que el axioma podría enunciarse como "existe al menos un conjunto inductivo"

Pues bien, los números naturales como un todo, el archiconocido $\mathbb{N}$, no es más que el menor de todos los conjuntos inductivos. ¿Cómo podemos formalizar eso del "menor"? Pues haciendo la intersección de todos ellos, o dicho de otra forma, usando el axioma III (de separación) que vimos aquí, para definir
$$
\mathbb{N}=\{n | n \in I \text { para cada conjunto inductivo } I\}
$$

Insisto en una cosa: hemos podido definir esto porque tenemos el axioma adecuado. Y, de paso, también en otra: los axiomas no son lo mismo que las definiciones. Un axioma es una verdad que hay que creer. Una definición es un nombre que le ponemos a algo que ya existe, para poder hablar de ello de forma más corta.

Es decir, por definición de conjunto inductivo, todos ellos contienen a los naturales: 0, 1, 2, ... Y recíprocamente, los naturales son aquellos objetos que están en todos los $I$ inductivos al mismo tiempo.

La hoja de ruta a partir de aquí sería la siguiente:
- demostrar que la suma cumple propiedades coherentes con las de nuestra idea intuitiva de suma (si no tendríamos un concepto perfectamente definido pero sin relación con la realidad, y eso es como tener un tío en "Graná")
- definir la relación de orden, y ver que es coherente con la de nuestra intuición.
- definir la multiplicación y, otra vez, ver que cuadra con nuestra experiencia cotidiana.

Pero yo todo eso no lo voy a hacer, no tengo ganas. Además, no es ese el objetivo de estas entradas, para ello hay libros perfectamente escritos y no este mamarracho. La idea de este mamarracho es dar una visión general de la formalización de las matemáticas, sin meternos en los detalles. Su objetivo es evitar el fenómeno "los árboles no me dejan ver el bosque", del que tanto pecan los textos de matemáticas.

¿Entonces cuál será el paso siguiente? Pues lo más "natural" después de los naturales es hablar de los números enteros.

Puedes encontrar más ideas matemáticas y físicas explicadas de manera intuitiva en mi otro blog: what I have learned today.

2 abr. 2019

Resolución gráfica de sistemas o cómo VER el álgebra

[Público: 4º ESO-2ºBach]

En el siglo XVII René Descartes tuvo una idea que cambió la historia de la ciencia en general, y de las matemáticas en particular: se dio cuenta de que podía asociar a cada punto del plano una pareja de números.



¿Cómo? Pues eligiendo un punto concreto y trazando dos rectas perpendiculares a través de él, los famosos ejes cartesianos.

Una vez fijados estos tres elementos de referencia y una unidad de longitud, podemos localizar cualquier punto a partir de dos cantidades: proyectamos el punto perpendicularmente hacia ambos ejes, y medimos la distancia al origen de ambas proyecciones. Parece complicado pero es una tontería, como se ve en el dibujo.  Hay tantos puntos en el plano como parejas de números reales. Ni uno más ni uno menos. A la parejita de números asociada a un punto se les llama coordenadas cartesianas de dicho punto.

Así pues, desde ese momento, tuvimos una forma de movernos con el plano con total seguridad, evitando cualquier ambigüedad sobre nuestra posición. Esta idea fue, entre otras muchas cosas, la tatarabuela de la idea que permitió crear los GPSs.



¿Y esto qué tiene que ver con los sistemas de ecuaciones? Imagina que tenemos una sola ecuación de dos incógnitas. Como dijimos en una entrada anterior, podría haber muchas parejas de números que cumplan la condición (sistema compatible indeterminado). ¿Qué ocurre si dibujo en el plano todos los puntos correspondientes a esas parejas de números? ¡Pues que aparecerá una figura! Por ejemplo, la ecuación de la imagen de la izquierda admite como parejas válidas un montón de puntos del plano que unidos entre sí dan lugar a ese corazón.

Cuanto más simple es una ecuación, más simple es su dibujo asociado. Por ejemplo, las ecuaciones más sencillas son las que tienen pinta de polinomio de grado 1. Son llamadas lineales y se sabe que su dibujo será una línea recta.  Por ejemplo, busquemos una representación para la ecuación
$2x-y=4$:



Cuando las ecuaciones son más sofisticadas aparecen dibujos más exóticos. Por ejemplo,

 $$
\left(x^{2}+y^{2}-3\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4}+\sin \left(8 \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \cos \left(6 \tan ^{-1} \frac{y}{|x|}\right)-\frac{3}{4} \sin \left(5 \tan ^{-1} \frac{y}{|x|}\right)=0
$$

da lugar al dibujo



Por otra parte, si en lugar de dos incógnita tuviésemos tres nos estaríamos adentrando en el mundo tridimensional. Al igual que los puntos del plano se identifica con parejas de números, los del espacio se identifican con tripletes de números. Por ello, una ecuación de tres incógnitas nos está dando lugar a una colección infinita de puntos del espacio:


Pero quedémonos en las dos dimensiones. ¿Qué pasa si tenemos varias ecuaciones? Pues que tenemos varios dibujos, obvio. Pero hay algo más. Cada punto del primer dibujo es una combinación de valores de las incógnitas que hacen cierta la primera ecuación. Cada punto del segundo dibujo se traduce en unos valores para las incógnitas que hacen cierta la segunda. Luego los puntos donde se cortan las dos dibujos son...  ¡las soluciones del sistema!


En el caso particular de dos ecuaciones lineales, pueden ocurrir tres situaciones, como ya conocemos:



20 mar. 2019

Test de aptitud matemática (para 1º ESO)

Investigando el uso de los formularios de Google he elaborado este pequeño test de aptitud matemática general (no conocimientos específicos), para un nivel de 1º de ESO. Aquí lo dejo por si alguien quiere ponerse a prueba: