25 abr. 2019

[Las matemáticas desde el principio] Los números naturales II

[Público: Licenciatura Matemáticas y bichos raros]

En la entrada anterior de esta serie vimos la definición de cada número natural. Resumiendo: el 0 no es más que el conjunto vacío $\emptyset$, y puesto que podíamos crear el "siguiente de un número", $S(n)$, podíamos definir cualquier natural.

También vimos cómo podíamos definir la "suma de dos números", gracias al "siguiente".

Pero quedó pendiente la definición del propio conjunto $\mathbb{N}$, es decir, el saco donde estén todos los números naturales metidos. Recuerda que en esta entrada introdujimos el Axioma del Infinito.  Copio y pego lo que decía allí:

Axioma VIII (del infinito): Existe al menos un conjunto $a$ que verifica:

  1. $\emptyset \in a$
  2. Para cada $b \in a$ se verifica que $b \cup \{b\} \in a$.
Los conjuntos que verifican las dos condiciones anteriores se llaman (definición) conjuntos inductivos, por lo que el axioma podría enunciarse como "existe al menos un conjunto inductivo"

Pues bien, los números naturales como un todo, el archiconocido $\mathbb{N}$, no es más que el menor de todos los conjuntos inductivos. ¿Cómo podemos formalizar eso del "menor"? Pues haciendo la intersección de todos ellos, o dicho de otra forma, usando el axioma III (de separación) que vimos aquí, para definir
$$
\mathbb{N}=\{n | n \in I \text { para cada conjunto inductivo } I\}
$$

Insisto en una cosa: hemos podido definir esto porque tenemos el axioma adecuado. Y, de paso, también en otra: los axiomas no son lo mismo que las definiciones. Un axioma es una verdad que hay que creer. Una definición es un nombre que le ponemos a algo que ya existe, para poder hablar de ello de forma más corta.

Es decir, por definición de conjunto inductivo, todos ellos contienen a los naturales: 0, 1, 2, ... Y recíprocamente, los naturales son aquellos objetos que están en todos los $I$ inductivos al mismo tiempo.

La hoja de ruta a partir de aquí sería la siguiente:
- demostrar que la suma cumple propiedades coherentes con las de nuestra idea intuitiva de suma (si no tendríamos un concepto perfectamente definido pero sin relación con la realidad, y eso es como tener un tío en "Graná")
- definir la relación de orden, y ver que es coherente con la de nuestra intuición.
- definir la multiplicación y, otra vez, ver que cuadra con nuestra experiencia cotidiana.

Pero yo todo eso no lo voy a hacer, no tengo ganas. Además, no es ese el objetivo de estas entradas, para ello hay libros perfectamente escritos y no este mamarracho. La idea de este mamarracho es dar una visión general de la formalización de las matemáticas, sin meternos en los detalles. Su objetivo es evitar el fenómeno "los árboles no me dejan ver el bosque", del que tanto pecan los textos de matemáticas.

¿Entonces cuál será el paso siguiente? Pues lo más "natural" después de los naturales es hablar de los números enteros.

2 abr. 2019

Resolución gráfica de sistemas o cómo VER el álgebra

[Público: 4º ESO-2ºBach]

En el siglo XVII René Descartes tuvo una idea que cambió la historia de la ciencia en general, y de las matemáticas en particular: se dio cuenta de que podía asociar a cada punto del plano una pareja de números.



¿Cómo? Pues eligiendo un punto concreto y trazando dos rectas perpendiculares a través de él, los famosos ejes cartesianos.

Una vez fijados estos tres elementos de referencia y una unidad de longitud, podemos localizar cualquier punto a partir de dos cantidades: proyectamos el punto perpendicularmente hacia ambos ejes, y medimos la distancia al origen de ambas proyecciones. Parece complicado pero es una tontería, como se ve en el dibujo.  Hay tantos puntos en el plano como parejas de números reales. Ni uno más ni uno menos. A la parejita de números asociada a un punto se les llama coordenadas cartesianas de dicho punto.

Así pues, desde ese momento, tuvimos una forma de movernos con el plano con total seguridad, evitando cualquier ambigüedad sobre nuestra posición. Esta idea fue, entre otras muchas cosas, la tatarabuela de la idea que permitió crear los GPSs.



¿Y esto qué tiene que ver con los sistemas de ecuaciones? Imagina que tenemos una sola ecuación de dos incógnitas. Como dijimos en una entrada anterior, podría haber muchas parejas de números que cumplan la condición (sistema compatible indeterminado). ¿Qué ocurre si dibujo en el plano todos los puntos correspondientes a esas parejas de números? ¡Pues que aparecerá una figura! Por ejemplo, la ecuación de la imagen de la izquierda admite como parejas válidas un montón de puntos del plano que unidos entre sí dan lugar a ese corazón.

Cuanto más simple es una ecuación, más simple es su dibujo asociado. Por ejemplo, las ecuaciones más sencillas son las que tienen pinta de polinomio de grado 1. Son llamadas lineales y se sabe que su dibujo será una línea recta.  Por ejemplo, busquemos una representación para la ecuación
$2x-y=4$:



Cuando las ecuaciones son más sofisticadas aparecen dibujos más exóticos. Por ejemplo,

 $$
\left(x^{2}+y^{2}-3\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4}+\sin \left(8 \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \cos \left(6 \tan ^{-1} \frac{y}{|x|}\right)-\frac{3}{4} \sin \left(5 \tan ^{-1} \frac{y}{|x|}\right)=0
$$

da lugar al dibujo



Por otra parte, si en lugar de dos incógnita tuviésemos tres nos estaríamos adentrando en el mundo tridimensional. Al igual que los puntos del plano se identifica con parejas de números, los del espacio se identifican con tripletes de números. Por ello, una ecuación de tres incógnitas nos está dando lugar a una colección infinita de puntos del espacio:


Pero quedémonos en las dos dimensiones. ¿Qué pasa si tenemos varias ecuaciones? Pues que tenemos varios dibujos, obvio. Pero hay algo más. Cada punto del primer dibujo es una combinación de valores de las incógnitas que hacen cierta la primera ecuación. Cada punto del segundo dibujo se traduce en unos valores para las incógnitas que hacen cierta la segunda. Luego los puntos donde se cortan las dos dibujos son...  ¡las soluciones del sistema!


En el caso particular de dos ecuaciones lineales, pueden ocurrir tres situaciones, como ya conocemos:



20 mar. 2019

Test de aptitud matemática (para 1º ESO)

Investigando el uso de los formularios de Google he elaborado este pequeño test de aptitud matemática general (no conocimientos específicos), para un nivel de 1º de ESO. Aquí lo dejo por si alguien quiere ponerse a prueba:

19 mar. 2019

Tipos de sistemas de ecuaciones


[Público: 4º ESO-1º Bachillerato]

Los sistemas de ecuaciones constituyen una gran fauna matemática. Por eso es necesario clasificarlos, para poder saber a qué nos enfrentamos. Hay varias clasificaciones:



  • Según el número de incógnitas: obvio.



  • Según la complejidad de las ecuaciones que forman el sistema. Si las ecuaciones que lo constituyen son las más simples posibles (polinomios de primer grado) estaríamos ante un sistema lineal. El porqué del nombre quedará claro en otra entrada. Todos los demás se llaman no lineales.



  • Según las soluciones. Un sistema que no tenga soluciones se dice que es incompatible. El sentido del nombre es que las ecuaciones se interpretan como condiciones que estamos imponiendo a las incógnitas. Pues bien, si no hay solución es porque hemos pedido unas condiciones que no son compatibles entre sí. Cuando sí la hay pues, como es lógico, decimos que el sistema es compatible. Ahora bien, puede ocurrir que sólo haya una solución, y decimos que el sistema, además de compatible es determinado. Si hay infinitas soluciones se dice que es compatible pero indeterminado, pues todavía podríamos pedir alguna condición más a las incógnitas.


Con un ejemplo se verá más claro. Si te digo que tengo dos números que suman 8 tendremos el ``sistema de ecuaciones'' (aunque sólo sea una):
$$
\left\{\begin{array}{l}
{x+y=8}
\end{array}\right.
$$

Lógicamente es un sistema con solución, de hecho, infinitas soluciones: la pareja 3 y 5, la pareja 2 y 6, etcétera. Por eso, aunque es compatible es indeterminado.

Si imponemos una condición más, por ejemplo, el segundo es el triple del primero, tendríamos un nuevo sistema:

$$
\left\{\begin{array}{l}
{x+y=8} \\
{y=3x}
\end{array}\right.
$$


Y ahora sí, tenemos una solución concreta, sin género de duda, el par de números (2,6). Por eso el sistema es compatible determinado.

Pero imagina además que introduzco una condición más: la suma del primero más el doble del segundo da 13:
$$
\left\{\begin{array}{l}
{x+y=8} \\
{y=3x}\\
{x+2y=13}
\end{array}\right.
$$

En este caso es imposible que haya solución, pues los únicos números que cumplen las dos primeras condiciones son el 2 y el 6, y al aplicarle la tercera dan 14, no 13. Se trata de un sistema incompatible.

15 mar. 2019

Adivinar el pasado


[Público: 4º ESO- 2º Bachillerato]
Vamos a intentar explicar para qué sirven los sistemas de ecuaciones en la vida real. Una vez más, esto no es más que una reacción ante la tan repetida pregunta por parte del alumnado: ¿esto para qué sirve?
En la entrada anterior vimos que las ecuaciones sirven para resolver situaciones reales, siempre que seamos capaces de crear un modelo matemático de la situación, es decir, una expresión simbólica (en las que una letra representa una cantidad que no está fija) que refleje la realidad concreta a la que nos enfrentamos. Pero la realidad, por suerte o por desgracia, suele ser bastante complicada, y lo normal es que no haya una única cantidad variable, sino muchas. Piensa por ejemplo en la meteorología: la velocidad del viento, la presión del aire, la temperatura,... Todas estas cantidades son variables y están conectadas entre sí.




Vamos a considerar un ejemplo concreto pero, eso sí, ficticio. Es un invento para intentar transmitir cómo se usan los sistemas de ecuaciones en la vida real, pero sin meternos en detalles técnicos que pueden oscurecer el sentido matemático, que es el que nos interesa aquí. Imagina que tras años de acumular estadísticas se ha descubierto que, en promedio, la longitud del fémur de una persona, $f$, en cm responde a la expresión:

$$
f=\frac{a}{3}+\frac{e}{15}
$$

siendo $a$ la altura en cm y $e$ la edad en años.

También se ha encontrado que la longitud del pie $p$, en cm, se relaciona con la altura y la edad de la siguiente forma:

$$
p=\frac{a}{6}+\frac{e}{15}
$$


Estas fórmulas, insisto, son ficticias, para facilitar la comprensión del ejemplo. Pero ojo, en la realidad existen tales fórmulas, y las usan los antropólogos y los forenses. Aunque,  eso sí, son notablemente más complicadas. 


Ahora, supón que estás trabajando en una excavación arqueológica. Han llegado a ti los restos de una persona de la que sólo conservamos una pierna. El fémur mide 62cm y el pie 32 cm. Con estas dos mediciones, y usando el modelo anterior, obtenemos

$$
\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{a}{3}+\dfrac{e}{15}=62} \\
\\{\dfrac{a}{6}+\dfrac{e}{15}=32}\end{array}\right.
$$


Es importante observar que con una sola de estas dos ecuaciones no nos bastaría, pues tendríamos infinitas posibilidades. Estaríamos en una situación indeterminada. Por ejemplo, podría tratarse de una persona de 40 años y de 178 cm de altura. O una persona de 56 años y de 175 cm de altura.

Pero el otro dato, el del pie, nos permitirá afinar más. Tenemos dos ecuaciones que son compatibles y que nos permitan dar una solución determinada al problema. Cuando resolvamos el sistema de ecuaciones anterior podremos afirmar que, dentro del nivel de fiabilidad del modelo, estamos seguros de que la persona que  hemos encontrado tenía 30 años y medía 180 cm.

Parece magia, pero son matemáticas.