¿Dónde están, físicamente, las matemáticas?

 La inteligencia artificial ha resuelto las matemáticas. Al menos, eso es lo que se afirma en diversas redes sociales. No sé si es cierto, ni si las pruebas son suficientes para una afirmación tan categórica, pero probablemente lo será en unos años (¿quizás meses?). Y esto nos deja (a los matemáticos y físicos teóricos) en una posición incómoda: ¿cuál es nuestra razón de ser? ¿Para qué trabajamos?

En mi opinión, esta es una excelente noticia. Permítanme explicarlo con una analogía: el descubrimiento geográfico. Cuando las civilizaciones humanas exploraban nuevas tierras, se necesitaban varios trabajadores especializados, que participaban en cada expedición: constructores de caminos, constructores de viviendas, defensores, etc. Tenían que realizar tareas auxiliares fundamentales necesarias para el proyecto. Pero siempre había un personaje principal, un explorador líder, que traía consigo el conocimiento del nuevo territorio, que integraba los nuevos mapas con los ya conocidos, que les contaba a los demás lo que realmente había allí.

En la exploración matemática, los propios matemáticos deben realizar todas estas tareas (quizás repartidas entre varios coautores). Sus análogas, quiero decir: recopilar ejemplos para contrastar hipótesis, elaborar demostraciones, resolver problemas lógicos rutinarios, programar, escribir artículos y establecer conexiones entre diferentes ramas de las matemáticas. Al final, la IA será capaz de hacer todo esto e integrarlo en un artículo, en un nuevo conocimiento. Más rápido y mejor que nosotros.

¡Pero esto son buenas noticias! La IA limpiará los senderos, construirá carreteras y cartografiará el terreno a la velocidad del rayo. Sin embargo, al final, se necesita un ser humano real para proclamar la conquista del territorio. Aún será necesario que el nuevo conocimiento sea asimilado por la conciencia colectiva de la humanidad.

Imaginemos que construimos superrobots y los enviamos a colonizar Marte y otros planetas, o incluso otros sistemas solares. Están ahí fuera, construyendo casas, abriendo caminos y estableciendo infraestructuras (atmósfera artificial, producción de alimentos, etc.). La galaxia está conquistada, ¡pero nosotros mismos nunca visitamos estos nuevos mundos! Una matemática completamente resuelta por la IA, pero no leída ni asimilada por los humanos (como grupo), es como un conjunto de casas vacías en un planeta lejano.

Necesitamos ir a observar los nuevos paisajes, asimilarlos, comunicarlos, enseñarlos a otros. No basta con tener el conocimiento encapsulado en libros o artículos; el conocimiento real debe fluir de persona a persona. Por cierto, esto no es nuevo. Quizás la demostración de la hipótesis de Riemann ya esté enterrada en una pila de preimpresiones, escritas por algún matemático desconocido. ¿Qué sentido tiene tener el conocimiento real encerrado en papeles?

Las matemáticas, físicamente, residen en la mente de los matemáticos. Por lo tanto, deben estar en constante movimiento, reescritas, rediscutidas, reenseñadas, repensadas. Ahora más que nunca.

La inflación y el bachillerato

 

¿Las notas de "selectividad" reflejan el nivel real del alumnado? Para mí, no. Y el problema es claro: las notas de acceso a la universidad están tan infladas que ya no sirven para distinguir a los buenos alumnos de los brillanes. Todo el mundo lo sabe, pero seguimos como si nada. Mi análisis es el siguiente:

 

1. Notas altas por todas partes.
   Lo que ocurre con las reseñas de restaurantes en Google es exactamente lo que pasa con las notas: si todos los restaurantes tienen entre 4 y 5 estrellas, la puntuación deja de decir nada. Pues con el bachillerato igual: si todo el mundo está entre 8'5 y 10, una décima arriba o abajo depende de cualquier detalle sin importancia. No es un reflejo del nivel, sino del contexto en el que se corrige, de la presión de las familias, del centro… o de que ese día el profesor estuviera más blando.

2. Competencia entre centros.
   Muchos centros se comparan entre sí. Si los demás dan buenas notas, “yo no voy a perjudicar a mis alumnos”, piensa más de uno. Ojo, yo incluído. Y así, poco a poco, todos inflamos para no quedarnos atrás. El resultado es una competición absurda en la que nadie quiere ser el “malo” que evalúa con rigor, porque parece que está castigando injustamente a su alumnado.

3. El dilema del prisionero.
   Es justo eso: si todos bajaran el nivel de notas, la situación mejoraría. Pero cada centro, pensando por separado (sin cooperación), cree que es mejor inflar porque “los demás lo harán”. Y al final todo el mundo infla y el sistema entero pierde. Es una trampa en la que caemos incluso quienes sabemos que está mal. Yo mismo he cedido alguna vez cuando he dado segundo de bachillerato, para no “dejar fuera” a alguien que, comparado con otros centros, saldría perjudicado. 

4. Consecuencias reales.
   Esto no es una anécdota. Afecta directamente a quién entra en las carreras más exigentes. Medicina, Matemáticas, ingenierías… ya no están seleccionando a los mejores preparados, sino a los que vienen de centros donde se aprieta un poco menos o donde las notas tienden a subir por sistema. Eso es malo para las universidades y para la sociedad: nos quedamos sin los mejores profesionales en puestos donde realmente importan.

Y además se produce un efecto perverso: alumnos buenos que podrían estudiar algo que les gusta acaban eligiendo carreras “de nota alta”, aunque no tengan vocación real por ella, solo por “aprovechar la nota”. Como si la elección de estudios fuera un descuento del supermercado que hay que usar antes de que caduque. Y recíprocamente, alumnos brillantes con una alta vocación no pueden acceder a la carrera que persiguen por culpa de esta quasi-aleatoriedad (yo lo he visto).

¿Qué se puede hacer?

Menos peso de la nota de bachillerato y más peso de pruebas externas, que sean iguales para todos. Es lo único que se me ocurre.

Si queremos un sistema justo, que premie esfuerzo y capacidad, y que seleccione bien para las carreras donde importa la preparación real, hay que replantearse cómo se califican los dos últimos años antes de la universidad. El buenismo, la competencia entre centros y el miedo a “perjudicar” a los alumnos ha convertido la nota en una señal casi inútil. Si no cambiamos eso, seguiremos ordenando a los estudiantes de manera casi aleatoria. Y eso, a la larga, lo pagamos todos.

Machine learning

 

Integrales primeras sin factores integrantes ni simetrías

Mi último trabajo, First integrals without integrating factors or symmetries, acaba de ser publicado con Springer Nature en Qualitative Theory of Dynamical Systems. Se puede leer aquí.

 

Encontrar cantidades conservadas, es decir, integrales primeras, es una de las técnicas clave para comprender una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Esto siempre ha requerido o bien descubrir una simetría de la ecuación (al estilo de la teoría de Lie), o bien hallar un factor integrante. Ambos enfoques son potentes, aunque tienen sus dificultades: la detección de simetrías puede fallar, y resolver las ecuaciones en derivadas parciales para los factores integrantes suele ser imposible en la práctica.

En este artículo propongo una ruta distinta: un método geométrico basado en la integrabilidad del sistema de Pfaff naturalmente asociado a una EDO. Formulamos el problema en el lenguaje de los fibrados de jets y las formas de contacto, evitando tanto las simetrías como los factores integrantes. En su lugar, convertimos la búsqueda de una integral primera en la resolución de un sistema de EDPs derivado del teorema de Frobenius.

Lo que hace interesante a este enfoque no es que sea “más fácil” (de hecho, puede ser más difícil computacionalmente), sino que funciona en situaciones donde las técnicas clásicas pueden fallar. El artículo lo demuestra en EDOs de segundo, tercer y cuarto orden, incluyendo ecuaciones sin simetrías de Lie.

El resultado es una herramienta complementaria para las EDOs rebeldes. Su naturaleza algorítmica lo convierte en un candidato natural para implementaciones en álgebra computacional (Maple, Mathematica), donde la prueba sistemática de ansätze podría ampliar aún más sus posibilidades de éxito.

Visualizar funciones holomorfas

 He realizado una pequeña visualización aquí, para visualizar cómo la noción de holomorfía determina el comportamiento local de una función del plano en el plano. Se observa cómo las funciones holomorfas se comportan, vistas desde cerca (localmente) como multiplicar por un número complejo. Es decir, los cuadraditos se convierten en "nuevos cuadraditos" a los que se les ha aplicado una pequeña rotación y un pequeño cambio de escala. 

 

 

Las no holomorfas estiran el cuadradito, o bien lo aplastan, o bien le invierten su orientación (estas son las funciones antiholomorfas, como el conjugado).

Puede ocurrir que, aparentemente, el cuadrado no parezca haberse convertido en un cuadrado, aun siendo la función elegida holomorfa. Pero basta con afinar la cuadrícula: recordemos que estamos hablando de un comportamiento local.