15 mar. 2019

Adivinar el pasado


Vamos a intentar explicar para qué sirven los sistemas de ecuaciones en la vida real. Una vez más, esto no es más que una reacción ante la tan repetida pregunta por parte del alumnado: ¿esto para qué sirve?
En la entrada anterior vimos que las ecuaciones sirven para resolver situaciones reales, siempre que seamos capaces de crear un modelo matemático de la situación, es decir, una expresión simbólica (en las que una letra representa una cantidad que no está fija) que refleje la realidad concreta a la que nos enfrentamos. Pero la realidad, por suerte o por desgracia, suele ser bastante complicada, y lo normal es que no haya una única cantidad variable, sino muchas. Piensa por ejemplo en la meteorología: la velocidad del viento, la presión del aire, la temperatura,... Todas estas cantidades son variables y están conectadas entre sí.




Vamos a considerar un ejemplo concreto pero, eso sí, ficticio. Es un invento para intentar transmitir cómo se usan los sistemas de ecuaciones en la vida real, pero sin meternos en detalles técnicos que pueden oscurecer el sentido matemático, que es el que nos interesa aquí. Imagina que tras años de acumular estadísticas se ha descubierto que, en promedio, la longitud del fémur de una persona, $f$, en cm responde a la expresión:

$$
f=\frac{a}{3}+\frac{e}{15}
$$

siendo $a$ la altura en cm y $e$ la edad en años.

También se ha encontrado que la longitud del pie $p$, en cm, se relaciona con la altura y la edad de la siguiente forma:

$$
p=\frac{a}{6}+\frac{e}{15}
$$


Estas fórmulas, insisto, son ficticias, para facilitar la comprensión del ejemplo. Pero ojo, en la realidad existen tales fórmulas, y las usan los antropólogos y los forenses. Aunque,  eso sí, son notablemente más complicadas. 


Ahora, supón que estás trabajando en una excavación arqueológica. Han llegado a ti los restos de una persona de la que sólo conservamos una pierna. El fémur mide 62cm y el pie 32 cm. Con estas dos mediciones, y usando el modelo anterior, obtenemos

$$
\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{a}{3}+\dfrac{e}{15}=62} \\
\\{\dfrac{a}{6}+\dfrac{e}{15}=32}\end{array}\right.
$$


Es importante observar que con una sola de estas dos ecuaciones no nos bastaría, pues tendríamos infinitas posibilidades. Estaríamos en una situación indeterminada. Por ejemplo, podría tratarse de una persona de 40 años y de 178 cm de altura. O una persona de 56 años y de 175 cm de altura.

Pero el otro dato, el del pie, nos permitirá afinar más. Tenemos dos ecuaciones que son compatibles y que nos permitan dar una solución determinada al problema. Cuando resolvamos el sistema de ecuaciones anterior podremos afirmar que, dentro del nivel de fiabilidad del modelo, estamos seguros de que la persona que  hemos encontrado tenía 30 años y medía 180 cm.

Parece magia, pero son matemáticas.


8 ene. 2019

Adivinar el futuro

En un sentido casi poético, podemos decir que las ecuaciones se inventaron para adivinar el futuro. Por ejemplo, gracias a la resolución de una ecuación podemos calcular la dosis exacta de un anestésico, y de esa manera estamos adivinando un futuro muy crítico: sabremos si, al inyectarlo, el paciente ni se enterará, se dormirá o morirá por sobredosis. Si no fuese por las ecuaciones habría que hacerlo "por ensayo y error", lo cual no es muy tranquilizador.

Otro ejemplo de uso de ecuaciones para predecir el futuro se encuentra en la meteorología. Hay ecuaciones que modelizan el comportamiento del clima, y su resolución nos permite averiguar, con un grado de error, el tiempo que va a hacer.

Otro tipo de ecuaciones, las de la física, nos permiten averiguar si una sonda espacial llegará a un determinado astro en un momento concreto, o si habrá un eclipse el mes que viene.

Vamos a desarrollar un ejemplo, muy simple y tonto, para ilustrar en qué modo las ecuaciones permiten adivinar el futuro.




Imagina que quieres llenar tu piscina, un día de mucho calor de verano, y no quieres estar esperando fuera a que se llene (mucho mejor esperar en casa con la play y el aire acondicionado). Tampoco quieres estar dando vueltas desde la casa hasta la piscina, porque está a 800 m de tu casa. Pues bien, las matemáticas vienen en tu ayuda.

Observas que la piscina tiene marcas verticales indicando la altura del agua. Actualmente, el agua se encuentra en la marca de 21 cm, y la altura total de la piscina es de 190 cm. Además, observas pacientemente que el nivel del agua en un cuarto de hora ha subido 1 cm (es decir, sube 4 cm cada hora). Con estos datos, puedes plantear la siguiente expresión simbólica:
$$
N=21+4t
$$
que modeliza el nivel del agua $N$ dependiendo del tiempo $t$, medido en horas, que ha pasado desde que empezaste a mirar. Pues bien, si forzamos la expresión anterior para que valga 190, estamos creando una ecuación:
$$
21+4t=190
$$
y su solución, $t=42'25$, no dice que tendremos que esperar 42 horas y quince minutos para que esté llena. Es decir, si vamos dentro de 1 día, 18 horas y 15 minutos la piscina estará justamente llena, ni una gota más ni una gota menos.

30 nov. 2018

[Las matemáticas desde el principio] Los números naturales I



¡Cómo pasa el tiempo! Parece que fue ayer cuando escribí las otras entradas de esta serie. Ha llovido mucho desde entonces, muchas cosas han cambiado. Pero los números naturales no, ellos siguen igual, ellos son eternos.
Habíamos quedado en que el pensamiento humano tiene unos objetos básicos, unas ideas primarias, que no tienen explicación en términos de otras. Los matemáticos pasamos por esa dificultad definiéndolos axiomáticamente. Para el que no se acuerde, le resumo que "axiomáticamente" es una forma refinada de decir lo que me decía mi madre cuando yo era pequeño: ¡porque lo digo yo! Bueno, esto no es totalmente cierto, pero ahí queda la idea...

Los axiomas de Zermelo-Fraenkel sirven para fijar qué es un conjunto, que como ya se dijo es el objeto básico con el que se construyen todas las ideas matemáticas. Nos los tenemos que creer lo cual es un poco triste... pero la buena noticia es que es lo último para lo que nos va a hacer falta la fe. Todo lo demás será deducido usando la razón pura. En particular, vamos a ver aquí que LOS NÚMEROS NATURALES EXISTEN. Todo lo que sabemos desde que estamos en el colegio: que 2 más 2 es 4, que 5 por 8 es lo mismo que 8 por 5,... TODO se podrá demostrar.

A estas alturas alguien se estará diciendo: vaya ida de olla. ¿Tanto jaleo para demostrar lo que ya se sabe? Bueno, los matemáticos somos así. Otros podrán coger tres garbanzos y echarlos en un vaso, luego dejar caer cuatro y al final contarlos y obtener siete. Cuando terminen podrán hacer casi lo mismo pero al revés: echar cuatro garbanzos y luego tres, y finalmente obtener, nuevamente, siete. Dejándose llevar por la euforia proclamarán: el orden no importa, puedo sumar dos números $a$ y $b$ haciendo $a+b$ o $b+a$, da igual, va a salir lo mismo.

Pero los matemáticos no, nosotros no somos de esos. ¿Quién te dice a ti que porque funcione con el 3 y el 4 ya va a funcionar con el 15 y 38?, ¿o con el 156899874 y el 78877844456456? Nuestra misión en la ciencia es ser el "cuñao pejiguera". Y el tiempo nos termina dando la razón. Hemos construido un gigantesco castillo con mucha paciencia; un castillo que ha permitido a los seres humanos salir al espacio o adivinar el tiempo que va a hacer mañana. Y no queremos que se nos caiga por los cimientos.

Pero volvamos a los conjuntos. Dado un conjunto cualquiera, los axiomas que vimos aquí garantizan la siguiente definición:
...................................................................................
Definición (sucesor). Dado un conjunto $a$ llamaremos sucesor de $a$ y lo denotaremos por $S(a)$ al conjunto $a \cup \{a\}$.
............................................................................................... Esto puede sonar un poco raro. Piénsalo de la siguiente forma: si tenemos el conjunto $E=\{Cáceres, Badajoz\}$ el sucesor sería

$S(E)=\{Cáceres, Badajoz, E\}=\{Cáceres, Badajoz, \{Cáceres, Badajoz\}\}$.

Ojo, nadie ha dicho que un conjunto no pueda ser elemento de otro conjunto...

Antes de seguir, experimenta tú mismo: ¿cuál sería el sucesor del conjunto de "días de la semana"?, ¿y el de los meses del año?

Ahora, por otra parte, recuerda lo que era el conjunto vacío $\emptyset$ (insisto, lo vimos aquí).
¿Ya lo tienes? Pues bien, ya tenemos las dos herramientas básicas para fabricar todos los números naturales. Básicamente, la definición de sucesor es como tener preparado una gigantesca pista de fichas de dominó. Y el conjunto $\emptyset$ es el empujón inicial. Ya sólo nos queda observar la magia.

Definimos, por fin, el número 0 como $\emptyset$. El número 1 lo definimos así:

$1=S(0)=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$

Del mismo modo, tenemos el número 2:

$2=S(1)=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$

Y así sucesivamente:

$3=S(2)=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\}$

$4=S(3)=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\},\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\}\}$

....... ....... .......... ............ ...........


Así ya tenemos, rigurosamente, una definición para cada número natural. Ya sabemos lo que son. Ya sabemos que EXISTEN (siempre y cuando nos creamos los axiomas, claro). Además, estamos en condiciones de definir la suma de dos números naturales.
.........................................................................................................
Definición. Sean $n$ y $m$ dos números de los obtenidos por el procedimiento anterior. Distinguimos dos casos:
Caso a. Si $m=0$, entonces definimos $n+m=n$
Caso b. Si $m \neq 0$, entonces debe ser $m=S(p)$, para cierto $p$ (su anterior), y así pues definiremos $n+m=S(n+p)$
...............................................................................................................
Así, por ejemplo, ¿cuánto sería 2+1? Puesto que 1 no es 0, nos encontramos en el caso b. Y sabemos que 1=S(0), luego

2+1=S(2+0)

Pero, ¿quién es 2+0? Bueno, esta es fácil, estaríamos en el caso a, y por tanto 2+0=2. Por lo tanto

2+1=S(2),

que, por definición, es 3.

Del mismo modo, podemos demostrar que 2+2=4. Estaríamos en el caso b,  y puesto que 2=S(1) tendremos
2+2=S(2+1).

Como 2+1=3, tendremos que

2+2=S(3)=4.

Así que ya podemos dormir tranquilos, ya no tendremos que creernos que 2+2 es 4, por fin tenemos una demostración de que 2+2=4.

Pero ahora tenemos otros problemas. Por ejemplo, ¿existe el conjunto de todos los números naturales ($\mathbb{N}$)? Y también, ¿la suma así definida cumple todas las propiedades que se esperan de ella? Pues bien, todo esto y más para la próxima.

25 nov. 2018

Esferas en dimensión 4, o la caza de la hormiga

En esta entrada vamos a intentar explicar un poco qué se siente al vivir en un mundo de dimensión 4. En primer lugar, veremos que podemos entrar en el interior de una esfera normal sin romper la pared. Y en segundo lugar trataremos de describir lo que sentiríamos si nuestro mundo no fuese el clásico universo 3D más conocido como $\mathbb{R}^3$, sino otro también de 3 dimensiones llamado $S^3$.
Pero antes de empezar vamos a poner nombre a las cosas. Las circunferencias de toda la vida tienen un nombre más técnico para los matemáticos: $S^1$. En cambio una esfera (vamos, una pelota) recibe el nombre de $S^2$. Este parecido en los nombres no es casual: desde que somos niños intuimos que las circunferencias y las esferas tienen algo en común. De hecho son "lo mismo" salvo por el detalle de que las circunferencias son de dimensión 1 (solamente te puedes mover hacia delante o hacia atrás)  las esferas son de dimensión 2 (si vivieses en una te podrías mover delante-detrás pero también izquierda-derecha. Ups, de hecho vivimos en una). 

Ahora vamos a imaginarnos que quiero capturar una hormiga usando una circunferencia $S^1$ (aunque con cierto "grosor" para que no se escape). Pongo mi $S^1$ sobre una mesa y con comida en su interior, y llega la hormiga:


 Creo que no es necesario recordar que yo vivo en $\mathbb{R}^3$ y la hormiga en $\mathbb{R}^2$ (la mesa). Dado que es un ser bidimensional (aproximadamente) su visión es unidimensional: vamos, una rejilla. Así que lo que la hormiga se encuentra, desde su punto de vista, es lo siguiente:
Una observación: análogamente a $S^1$ y $S^2$ los matemáticos también definen lo que sería una esfera 0-dimensional, $S^0$. Serían únicamente dos puntos. Y otra más: cuando encima de una esfera escribamos una rayita querrá decir que consideramos que está "rellena". Así que lo que para nosotros es $S^1$, para la hormiga es $\bar{S^0}$. Cuando se acerque, la toque y la rodee, puede que perciba, a su manera, que en realidad es $S^1$ aunque visualmente le parezca un  $\bar{S^0}$.

Volvamos a la primera imagen. Para atrapar a la hormiga, giramos nuestra $S^1$. Pero imagina que la mesa y la circunferencia están diseñadas de manera que puedo girarla atravesando la mesa:

Para nuestra hormiga, la $\bar{S^0}$ se ha quedado hueca, convirtiéndose en $S^0$, y dejando ver comida en su interior:
 La hormiga va por la comida, ponemos la circunferencia en la posición original, y hormiga atrapada.

Pero ahora imagina que un malvado ser superior, habitante de un mundo de 4 dimensiones ($\mathbb{R}^4$) dentro del cual está el nuestro decide gastarnos una jugarreta similar (cosas del karma).




Ahora la mesa "representa" nuestro mundo $\mathbb{R}^3$, y la circunferencia con comida dentro simboliza una esfera vacía $S^2$ en cuyo interior han puesto comida para nosotros. Desde nuestro punto de vista, desde lejos lo que vemos es un $\bar{S^1}$, es decir, un disco relleno. Pero cuando nos acercamos, tocamos y la rodeamos, nos damos cuenta de que es una esfera $S^2$. Por supuesto, no vemos la comida que está dentro:
En un momento dado, el malvado ser tetradimensional gira su trampa tal y como hicimos nosotros. ¿Qué percibiremos con nuestra limitada visión bidimensional? Pues que mágicamente el objeto se ha convertido en $S^1$, o sea, un anillo, dejando ver comida en su interior:
Cuando nos lanzamos a por ella, cierra la trampa y nos deja atrapado dentro de la esfera $S^2$... ¡sin haberla roto y sin abrir ninguna puerta!


Pero cambiemos de tema, por si hay algún claustrofóbico entre el público. Hemos hablado de $S^0$, $S^1$ y $S^2$, objetos que tenemos en nuestra mente desde que vamos a la guardería. Pero ahora vamos a plantearnos: ¿qué sería $S^3$?, ¿qué se sentiría al vivir ahí?
Bien, $S^3$ no cabe en nuestro mundo 3D, sólo puede vivir en $\mathbb{R^4}$. Del mismo modo que $S^2$ no puede vivir en un plano $\mathbb{R^2}$: no cabría. Su existencia sólo tiene sentido en $\mathbb{R^3}$. Pero podemos tener una cierta visualización de $S^3$.
Volvamos a la situación de partida, nuestra primera imagen. La hormiga no está preparada sensorialmente para percibir $S^2$, tal y como nos ocurre a nosotros con $S^3$, pero podemos ayudarla. Vamos a ir apilando muchos $S^1$ encima del que ya hay, dando lugar a un cilindro. Cuando la hormiga llegue al nuevo objeto y se pegue a él habrá cambiado de universo. Y se encontrará en un mundo muy similar al suyo, puede moverse izquierda-derecha, pero también arriba-abajo enfrentándose a la gravedad. La única peculiaridad respecto a la mesa es que en la dirección horizontal "puedo dar la vuelta". 

Pero si los $S^1$ que vamos pegando son cada vez más pequeños, lo que aparece es un $S^2$:
En este caso, cuando la hormiga pase del "universo mesa" ($\mathbb{R}^2$) al "universo pelota" ($S^2$) sí notará cambios. Pues ahora, además de que horizontalmente puede "dar la vuelta" y regresar a donde estaba, cuando empiece a trepar, con esfuerzo, venciendo la gravedad, llega un momento en que deja de tener que esforzarse por subir: ha alcanzado la cima. Ojo, ella visualmente no nota nada, son sólo sensaciones internas, pues es una hormiga y su campo de visión es muy reducido. Está esforzándose por subir y, llegado un punto, no tiene que esforzarse más. Es más, tiene que esforzarse por frenar, pues al seguir avanzando se ha puesto cabeza abajo, bajando por el otro lado. 
Además, la hormiga advierte que cuando quiere dar la vuelta al mundo horizontalmente, cuando está más alto le cuesta menos (pues las circunferencias son cada vez más pequeñas).

Pero volvamos a nosotros. Nuestro mundo actual, $\mathbb{R}^3$ se parece al "cilindro" de la hormiga, en el sentido de que podemos movernos por el plano (con la peculiaridad de que puedo volver al mismo punto si doy la vuelta a la Tierra). Pero si subo, venciendo la gravedad con ayuda de una mochila propulsora, teóricamente podría subir todo lo que quiera.
¿Qué sentiríamos al vivir en $S^3$? Pues bien, sería todo muy parecido, pues es un mundo de 3 dimensiones. Podemos considerar que $S^3$ surge de manera análoga a la semiesfera de nuestra hormiga: vamos pegando $S^2$ cada vez más pequeñitos, al $S^2$ que nos puso el extraterrestre:

Cuando nos traspasen a ese nuevo universo $S^3$ a priori no sentiremos nada. Seguiremos sintiendo la gravedad, seguiremos estando en una pelota, nuestro planeta Tierra. Pero ahora, cuando subamos con nuestra mochila propulsora, venciendo la gravedad, notaremos dos cosas:
1. Llegará un punto en el que dejaremos de sentir la gravedad: cuando lleguemos arriba del todo. Para nosotros, visualmente, no será un punto peculiar, pues nuestra visión es limitada y no es capaz de ver el mundo de 4 dimensiones como le pasaba a la hormiga con la dimensión 3. Es más, si avanzamos un poquito, ¡empezamos a caer de repente! Repito, visualmente no notaríamos nada.
2. Antes de empezar a subir, avancemos en la dirección horizontal que avancemos, siempre volvemos al mismo punto. Pues bien, si en algún momento de nuestro ascenso decidimos mantener la altitud constante y avanzar en horizontal hacia cualquier dirección, siempre volveremos al mismo punto (estamos en un nuevo $S^2$), pero tardaríamos mucho menos en dar la vuelta, porque los $S^2$ que hemos amontonado eran cada vez más pequeñitos. De hecho, en el punto especial señalado en el párrafo anterior hay colapsado todo un $S^2$. 

Para acabar, una última cuestión: ¿merece la pena perder el tiempo en pensar todo esto? Pues sí. En primer lugar porque de hecho no sabemos la forma que tiene nuestro universo, pero lo que es seguro es que no es $\mathbb{R}^3$. Así que está bien imaginarnos alternativas, para ver si damos con la tecla de cuál es. Y en segundo lugar, porque sí que existen situaciones físicas y matemáticas en las que aparece el objeto $S^3$, y es importante saber cómo es. Por ejemplo, la colección de todas las rotaciones de objetos tridimensionales es casi $S^3$.  Y entender bien las rotaciones de objetos en el espacio es muy importante para la física o para la creación de un videojuego.



14 oct. 2018

Derivada de Lie y transporte de Lie de manera intuitiva

La derivada de Lie es una forma de derivar en variedades diferenciales cualesquiera. Consideremos un campo vectorial $X$ en una variedad $M$. Usando el flujo de dicho campo, que denotaremos $X_t$ para cierto $t$ pequeño, y más concretamente su diferencial $d X_t$ podemos trasladar vectores de otro campo $Y$ entre las fibras tangentes de $p$ y $X_t(p)$. El vector de llegada $d X_t(Y(p))$ y el vector $Y(X_t(p))$ podrán coincidir o no. Si coincinden es que hay ``cierta compatibilidad'' entre ambos campos.

También podemos ``tirar hacia atrás'' con $d X_{-t}$ para comparar el vector $Y(p)$ con el que ha ido y ha vuelto $d X_{-t}(Y(X_t(p)))$. La diferencia entre estos vectores dividido entre $t$ es la tasa de variación del campo $Y$ fijando como referencia el campo $X$. A esa cantidad se le llama derivada de Lie:

$$ \mathcal{L}_X(Y)=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{d X_{-t}(Y(X_t(p)))-Y(p)}{t}$$



Se puede demostrar que
$$ \mathcal{L}_X(Y)= \frac{d}{dt}\left( d X_{-t}(Y(X_t(p))) \right)_{t=0}$$

Y también que coincide con el corchete de Lie:

$$ \mathcal{L}_X(Y)=[X,Y]$$

De hecho, se puede demostrar que la anulación del corchete implica la conmutatividad de los flujos de ambos campos para incrementos pequeños, lo cual es una idea muy parecida a la presentada más arriba.


Se puede hablar también de ``transporte de Lie'' de un vector $Y$ a través de un campo $X$. Consistiría en aplicar $d X_t( \cdot )$ al vector $Y$ para llevarlo a distintos sitios. Aunque puede parecer similar al ``transporte paralelo'', hay muchas diferencias:


- El transporte de Lie se puede visualizar, de manera intuitiva, como el transporte de un río. No tiene que conservar el paralelismo real, sino que depende de la ``corriente de ese río particular'', o sea, del campo $X$ seleccionado. De hecho, no tiene por qué haber una idea de paralelismo de fondo, ya que la variedad no tiene por qué contar con un producto escalar o algo para medir ángulos ni distancias...
Siguiendo con la interpretación del río, la derivada de Lie $\mathcal{L}_X(Y)$ nos mide cómo varía el campo $Y$ para un observador que está fluyendo en el río.

-No permite transportar un vector $Y$ en $p\in M$ a un punto arbitrario $q\in M$, sino que sólo lo lleva a puntos de la órbita $\{X_t(p), t \in (a(p), b(p))\}$.

- El transporte de Lie no sólo depende de la curva uniendo los puntos, sino de todo el campo de vectores de alrededor, de todo el flujo. En cambio para el transporte paralelo sólo influye la curva seleccionada para unir los puntos.