28 jun. 2010

[Las matemáticas desde el principio] ¿De qué están hechas las matemáticas?

Como ya dije, que esta serie se titule Las matemáticas desde el principio no significa que vayamos a seguir un orden histórico, sino lógico.


Así que vamos a situarnos en una época en la que las matemáticas estaban ya bastante desarrolladas. Muchas ideas importantes estaban ya maduras, pero la película no terminaba de estar clara. No sé exactamente (alguien que me ilumine en los comentarios, por favor) quién decidió basar toda la matemática en la teoría de conjuntos, pero lo cierto es que en el siglo XIX muchos matemáticos, entre los que se encontraba Georg Cantor, se dieron cuenta de que esta noción ocupaba un  papel destacado en las matemáticas, y decidieron investigarla a fondo.
Es decir, todos los conceptos matemáticos SON, de una u otra forma, UN CONJUNTO, como se podrá comprobar en entradas posteriores. Así que tendremos que comenzar por una teoría que explique estos objetos.
Cantor, en su obra Fundamentos para una teoría general de conjuntos, estableció que un conjunto es la unión en un todo de objetos de nuestra intuición o de nuestro pensar, bien definidos y diferenciados los unos de los otros. Casi nada. Un pedazo de definición. Y a partir de ella creó una bella teoría que algunos llaman teoría intuitiva de conjuntos.


¿Por qué teoría intuitiva, y no simplemente teoría?
Pues porque Cantor no se percató de que estaba tratando con un concepto primario (ver entrada anterior), y así al decir unión en un todo simplemente estaba dando un sinónimo de conjunto, no una definición. Podríamos decir que se trataba de una aclaración-explicación de lo que podría ser un conjunto, pero no una definición con la solidez que un objeto matemático requiere. En resumen, que Cantor levantó su teoría sobre arena, y por ello se tambaleó en cuanto subió la marea.
Y la marea llegó personificada en la imagen de Bertrand Rusell. Más concretamente, a través de su paradoja del barbero. 
Comentémosla previamente en el contexto barberil, y luego veremos su versión conjuntista. Imaginemos una ciudad en la que tenemos un único barbero. Este barbero cumple a rajatabla el siguiente decreto aprobado en el ayuntamiento: "pelará a aquél y sólo a aquél que no sea capaz de pelarse a sí mismo". Y la pregunta es ¿es capaz este hombre de pelarse a sí mismo?
Pido al lector que reflexione un instante antes de seguir leyendo.
Si la respuesta fuese sí, entonces puesto que es capaz de pelarse sólo, el barbero de la ciudad (es decir él mismo) no puede "pelarlo", pues el decreto se lo prohíbe. Por lo cual, no puede pelarse sólo, lo que contradice nuestra suposición.
Si la respuesta fuese no, entonces puesto que no es capaz de pelarse sólo, el barbero de la ciudad (es decir, él mismo) puede pelarlo, pues lo obliga el decreto. Y esto contradice nuestra suposición.
En cualquier caso, estamos llegando a una contradicción lógica. Y de la lógica no podemos dudar, porque es lo único fiable con lo que contamos. Así que debemos dudar de nuestro supuesto, y deducir que es imposible que exista tal barbero


Esta paradoja fue utilizada por Bertrand Rusell para desmontar la teoría de conjuntos de Cantor. Propuso poner en tela de juicio el siguiente conjunto (llamémosle B): aquél formado por todos aquéllos conjuntos que no son elementos de sí mismos.
Vayamos por partes. Un conjunto, siguiendo la definición de Cantor, está definido siempre y cuando se diga claramente quiénes son sus elementos. En este caso, B está formado por conjuntos, y no hay nada de malo en ello. Por ejemplo, cada equipo de 1ª división de la Liga de Fútbol puede ser visto como un conjunto de jugadores. Pero además, yo puedo considerar el conjunto formado por todos los equipos de 1ª división, es decir, un conjunto hecho de conjuntos.
Ahora bien, los conjuntos que incluiremos como elementos de B son aquellos que no son elementos de sí mismos. Nada raro: casi ningún conjunto es elemento de sí mismo. Así, el conjunto de los días de la semana no es un día de la semana, el conjunto de equipos de 1º división no es un equipo de 1ª división, etcétera
Pero, ¿qué pasa con el propio B?, ¿es un elemento de sí mismo?

  • Si la respuesta es sí, entonces B no cumple el requisito indispensable para pertenecer a B, es decir, no ser elemento de sí mismo. Luego la respuesta es no.
  • Si la respuesta es no, entonces B sí cumple el requisito indispensable para pertenecer a B, es decir, no ser elemento de sí mismo. Luego la respuesta es sí.
Estamos en la misma situación que con el barbero, luego la conclusión es que el conjunto B no puede existir. Y por tanto, hay una gran laguna en la teoría de Cantor: con su definición de conjunto estamos permitiendo la entrada a monstruos lógicos como B, que son capaces de llevarnos a sinsentidos. Y eso es lo único que un científico no puede permitir, una contradicción lógica.


En la próxima entrada de la serie, presentaremos por fin el sistema axiomático de Zermelo y Fraenkel.

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