13 jun. 2018

Examen de selectividad de Matemáticas II de Andalucía resuelto (2018)

Aquí la solución de la opción A.
Y en este otro enlace la de la opción B.



11 jun. 2018

Derivabilidad de funciones a trozos

Para estudiar la derivabilidad de una función en un punto, sea a trozos o no, hay que usar la definición de derivada. El problema es que para determinadas funciones a trozos, el límite resultante puede ser relativamente complicado. Es por ello que los profesores de bachillerato solemos contar a los alumnos un truco...

El truco consiste, ni más ni menos, que en obtener la función derivada de f usando las reglas de derivación, en cada trozo, pero excluyendo los "bordes" del dominio de cada trozo, es decir, los puntos de cambio de trozo. Después bastará con comprobar que ambas derivadas "pegan bien", es decir, la recién obtenida función es continua.

Llegados aquí, pueden pasar dos cosas.
1. Si resulta que la función f' puede extenderse a continua (porque los trozos derivados pegan bien), pues afirmamos que la función f es derivable.
2. Si los trozos derivados no pegan bien, decimos que f no es derivable en ese punto.

Pues bien, lo afirmado en el punto 2 no es correcto. Imaginemos la función:
Esta función es derivable en 0, se puede comprobar. Pero su derivada es
que no es continua en 0.

Es decir, hay funciones derivables cuya derivada no es una función continua. Se dice que son funciones de clase $C^0$ pero no de clase $C^1$. Más aquí.

Entonces, ¿tenemos que renunciar a este maravilloso truco? ¿Hay que usar siempre la definición de derivada? No todo está perdido. Si los trozos no pegan bien pero los límites existen y son finitos, entonces sí podemos afirmar que la función no es derivable.







30 abr. 2014

Los lenguajes de programación

Esta semana se cumplen los 50 años de la creación del lenguaje de programación BASIC. Su creadores, John George Kemeny y Thomas Eugene Kurtz tenían el objetivo de acercar la programación de computadores a todo el mundo.


Pero, ¿qué es un lenguaje de programación? Pues hablando simplemente, es el “idioma” con el que podemos comunicarnos con nuestro ordenador o móvil para enseñarle a hacer... prácticamente cualquier cosa. En efecto, todos los programas que tenemos en nuestro ordenador, el control automático de la temperatura de un aire acondicionado, todas las increíbles apps que tenemos en nuestro teléfono móvil, todos sin excepción están desarrollados usando un lenguaje de programación.



Ahora bien las máquinas, al contrario de lo que pensamos, son “tontas”: hacen justo justo lo que les pedimos que hagan, ni más ni menos. Por eso un lenguaje de programación consiste en unas instrucciones muy sencillas y muy precisas, para que no haya líos. Y por ello, programar puede llegar a ser algo realmente complicado, pues para que el ordenador nos entienda debemos ceñirnos estrictamente a su “idioma” o le sucederá lo que normalmente llamamos “quedarse colgado”. Un ejemplo de programa muy sencillo para que nos hagamos una idea de lo complejo que puede llegar a ser el asunto:










mostrar(¿Cuántos asteriscos quiere?);
entrada(n);
Para i=1 to n
mostrar(*)
Fin Para;




Estas cinco líneas extrañas se llaman “código”, y reflejan un programa muy simple que pregunta al usuario cuántos asteriscos quiere imprimir por pantalla, y luego guarda su respuesta en la variable “n”. A continuación enseña el carácter asterisco “n” veces, las que le hayamos dicho, con lo cual aparecerán en la pantalla los asteriscos pedidos. Fijaos qué programa tan tonto; y sin embargo cuánta complejidad tiene... Así que imaginaos una app como “whatsapp” o un videojuego como “FIFA” cuán difícil es de desarrollar. No en vano, los programas actuales no son hechos por una persona, sino por un equipo completo, y contienen varios cientos de miles de líneas de código.



Aunque el lenguaje BASIC suponía una revolución por su sencillez, sigue siendo complicado hacer un programa interesante en él. Con interesante me refiero a que tenga efectos visuales y sonidos tal y como estamos acostumbrados. Por suerte, en la actualidad han surgido numerosas alternativas de lenguajes de programación “para niños” para que prácticamente cualquiera pueda hacer sus propias aplicaciones, incluyendo juegos.


Una de ellas es “Scratch”. Sólo tienes que pinchar el enlace y empezar a programar casi directamente. Su principal ventaja es que no tienes que
instalar nada, pues se ejecuta en el navegador, y además prácticamente no hay que escribir código. En lugar de escribir palabras clave, el lenguaje está formado por bloques gráficos que puedes arrastrar para crear el código de tu programa.




Así que ya estás tardando, todo lo que necesitas es Internet y paciencia (esto último es más difícil de encontrar) para empezar a hacer tus propios videojuegos. No olvides que muchos grandes juegos, como el “Comecocos” o el “Tetris” son programas relativamente simples que fueron desarrollados por una persona (generalmente estudiantes).

¡Lo importante es tener una buena idea!


20 nov. 2013

La (no) estructura de los números primos


Si hay un tema que ha fascinado a matemáticos y no matemáticos durante siglos son los números primos. Cuando era pequeño siempre me preguntaba por qué usaban esa relación de parentesco con esos números (¿primos de quién?), hasta que ya de adulto comprendí que primo era sinónimo de primario.

Y es que los números primos son para el conjunto de números enteros $\mathbb Z$ como los colores primarios son al arco iris; o como los sabores primarios son a la gastronomía. Son también como los elementos de la tabla periódica: todo lo que podemos tocar, ver u oler está hecho combinando adecuadamente esas piezas básicas.

En efecto, los números primos son los ladrillos indivisibles (átomos) que permiten construir todos los demás; multiplicativamente hablando, claro está. Desde el punto de vista de la suma, el asunto es trivial: todos los número nacen a partir del uno. En terminología de teoría de grupos podemos decir que los números primos son un sistema generador de $(\mathbb Z, \cdot)$.

Mucho se ha investigado acerca de qué comportamiento tiene la aparición de estos números dentro de $\mathbb Z$, pero poco se ha descubierto. La aparición de números primos aparenta tener un comportamiento caótico, y aunque se han encontrado ciertas "regularidades", queda mucho por conocer. Es quizá uno de las cuestiones matemáticas fáciles de formular (no hace falta ser un genio para entender el problema) que siguen sin ser resueltas.

Entendamos bien la cuestión. Los número pares, por ejemplo, tienen un comportamiento muy previsible: uno sí uno no. Si hablamos de los múltiplos de 6, sabemos que hay mucha regularidad, pues cada 6 números enteros hallamos uno de la familia.  Conjuntos de números más complicados, como los cuadrados perfectos, pueden ser descritos con alguna fórmula, como $n=k^2, k\in \mathbb Z$ en ese caso. Por muy rebuscado que busquemos la colección de números en cuestión, siempre se encuentra un método para describirla, así que, ¿cómo es posible que para un conjunto tan importante como el de números primos no tengamos casi nada?

La cuestión no es sólo mera curiosidad, que también (esa y no otra suele ser la principal motivación del matemático puro). El comportamiento de los números primos juega un papel crucial en la Criptología o teoría del cifrado de información, tan importante en el mundo de las transacciones digitales, las comunicaciones militares o la televisión de pago. Pues bien, a pesar de la presión económica que existe sobre el tema, los número primos siguen aguantando el tirón, ocultando su tan bien guardado secreto.

A la hora de descifrar el misterio de los números primos, además de técnicas de matemáticas avanzadas, como la función "zeta" de Rienman ζ(s), se han intentado muchos trucos visuales como la espiral de Ulam. El último que he conocido, y que me ha motivado a escribir esta entrada, es este de aquí:


Es impresionante ver cómo aparecen los números primos (círculos perfectos) cuando menos te lo esperas. Pero no menos sorprendente es que podamos distinguir de un simple vistazo los números que son potencias de dos, o potencias de tres, o de cinco. O la estructura tan parecida que tienen el 243 y el 162, debido a que ambos tienen "en su interior" a $3^4$ (ojo, $243=3^4 \cdot 3$ y $162=3^4 \cdot 2$).
243
162

































Asimismo es llamativo que los números que nos parecen raros tienen un "aspecto circular", apenas tienen estructura interna (por ejemplo el 183). En cambio, los "números redondos" tienen mucho nivel de organización interna (mirad el 200).
183

200


En definitiva, estos diagramas no revelan el misterio de los números primos pero proporcionan un pequeño avance, pues creo que la visualización es el germen de cualquier buena idea matemática.


27 mar. 2013

Blog en pausa

Bueno, esta entrada es sólo para avisar a los (pocos) seguidores del blog de que el mismo no está abandonado, sólo en pausa hasta que vuelva a sacar tiempo y motivación para seguir con él, lo cual espero que suceda pronto. Las cuestiones de secundaria prácticamente van a desaparecer, pues ahora trabajo con el alumnado a través de la plataforma Edmodo. Sinceramente, la recomiendo a todos los docentes.

Próximamente seguiremos con artículos de divulgación matemática y sus derivados. Un saludo.