10 de abr. de 2010

[Las matemáticas desde el principio] Los sistemas axiomáticos

Siguiente entrada de la serie.

En su concepción actual, las matemáticas están fuertemente ligadas a los sistemas axiomáticos. En esta entrada vamos a intentar aclarar qué es tal cosa.

Una CIENCIA es, simplificando mucho, una colección de conocimientos. Estos conocimientos, en los primeros momento del desarrollo de esa CIENCIA, llegan a nosotros por la simple experiencia que tenemos del fenómeno en cuestión a través de nuestros sentidos, sin un orden lógico. Pero con el tiempo, esta colección desordenada de informaciones requiere una organización, una estructura, una TEORÍA.

¡Quieto parao!, lo entenderemos mejor con un ejemplo. Supongamos que estamos viendo la típica película (española, seguramente) en la que las escenas van apareciendo sin orden cronológico. Al principio aparecen los protagonistas en una situación crítica. Después, un cartelito de "Veintidós años antes" nos indica que vamos a presenciar hechos pasados para que podamos entender la escena inicial. En la siguiente escena aparece una historia en paralelo de otros individuos que intuimos que tarde o temprano interferirá en la trama principal. Luego vuelve a haber un salto temporal... En definitiva, vamos viendo la película recibiendo a través de nuestros sentidos numerosa información desordenada, que poco a poco vamos haciendo cuadrar en nuestra mente. Al final de todo, si hemos tenido suerte y la película era medianamente buena, ataremos todos los cabos y tendremos una idea muy clara del argumento de la película. Y si se la contamos a alguien (hay un placer inexplicable en eso de estropear los finales de las películas) es muy poco probable que le contemos los hechos en el mismo orden en el que los hemos visto, sino que seguramente se la narremos siguiendo un orden mucho más sencillo: el orden lógico.

De hecho, es mucho más fácil memorizar, contar y resumir el argumento de la película una vez ordenada la trama, que si no llevamos a cabo este proceso. Es decir, el orden está proporcionando robustez, utilidad, manejabilidad, a todos los datos inconexos de los que disponíamos. Por mucho que entendamos las escenas individuales (una pareja peleándose, dos niños apedreando un perro, un accidente de coche,...) no tendremos la sensación de comprender la película entera si no somos capaces de decidir qué es lo primero que pasó, por qué razón sucedió aquello otro, y quién fue entonces el asesino y por qué.

Además, encontrar la estructura interna de la película tiene un efecto colateral añadido: si por algún motivo hay alguna escena que no hemos podido ver (quizás teníamos que ir al baño y, claro, en La Primera ya no hay anuncios...),  no tendremos problemas para deducirla. Es decir, si mientras que estábamos haciendo nuestras necesidades nos hemos perdido una escena en la que el protagonista se casa con su amada, al final cuando hayamos entendido la película no tendremos problemas en deducir que en algún momento se casaron.

Pues bien, este comportamiento de la inteligencia humana ante películas como Memento y muchas más, es el mismo que utilizamos cuando trabajamos científicamente, y especialmente en matemáticas. En primer lugar, todo el conocimiento matemático parte de la experiencia, que nos proporciona datos inconexos. Así,  uno observa propiedades matemáticas como, por ejemplo:


  • La suma de los ángulos de un triángulo suman 180º
  • Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.
  • En cualquier triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
  • Por dos puntos distintos pasa una recta y sólo una.
  • Los ángulos rectos son todos iguales entre sí.
  • En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
  • Una recta divide al plano en dos regiones, y todo punto exterior a ella pertenece a una y sólo una de las dos.
  • ...
Y claro, ese montón de información sin ordenar nos causa, a muchos de nosotros, mucho desasosiego. Necesitamos orden. Necesitamos saber por qué. Necesitamos saber quién fue antes, el huevo o la gallina. Necesitamos un sistema axiomático.

Es decir, que con mucho trabajo vamos descubriendo que alguna de estas propiedades es consecuencia de alguna otra. Y a su vez esta última lo es de una tercera. Y así sucesivamente hasta que llegamos a una colección de propiedades primeras que no podemos deducir de ninguna otra, pero que nuestra intuición-experiencia nos asegura que son ciertas. A estas verdades, que estamos dispuestos a creer incondicionalmente, les damos la denominación de axiomas.

Así, ya tenemos la película de la geometría montada. Si queremos contársela a alguien no le iremos dando la lista de propiedades de cualquier forma, sino que comenzaremos por el principio, por los axiomas, para ir poco a poco deduciendo todas las propiedades, con orden, cada cosa a su tiempo, elaborando una compleja red de conocimientos. Es mucho más fácil de contar, mucho más lógico. Pero la gran ventaja no es esta. Lo interesante es que quizás hay propiedades que no estaban en nuestra lista inicial, porque nunca tuvimos oportunidad de presenciarlas (quizás estábamos en el baño), pero que gracias al razonamiento lógico podemos deducir. Es decir, que hay conocimiento más allá de la experiencia, al que no podemos acceder si no contamos con una axiomatización.

Ese es el secreto del éxito de los sistemas axiomáticos, y por qué son la forma en que se investigan las matemáticas hoy día. Ya no estamos limitados por nuestros sentidos para encontrar propiedades y regularidades en el universo (real o abstracto), sino que podemos utilizar también nuestra razón.



Recapitulando, un sistema axiomático es una forma de organizar el conocimiento que tenemos acerca de un determinado aspecto del universo real o abstracto. Consta de propiedades primeras, llamadas axiomas, y propiedades derivadas de estas mediante razonamiento lógico, llamadas teoremas (según su importancia reciben distintos nombres: teorema, proposición, corolario, lema).

Pero claro, con este enfoque hay una pregunta muy natural que podríamos hacernos. Supongamos que tenemos un sistema axiomático para modelar cierto conjunto de conocimientos, ¿es posible llegar, mediante razonamiento lógico, a cualquiera de esos conocimientos partiendo de los axiomas? Y la respuesta, por desgracia, es NO. Esto lo descubrió Kurt Gödel en el siglo XX, y es ya argumento para otra entrada.


Pero del mismo modo en que hay proposiciones que debemos admitir sin demostración, hay conceptos primarios que no pueden ser definidos, pues son tan sencillos que no pueden ser referidos a objetos más sencillos.
Por ejemplo, podemos preguntarnos qué significa que dos triángulos sean iguales: pues que tengan sus lados y ángulos iguales. Pero, ¿qué significa que dos ángulos sean iguales? La solución pasa por definir indirectamente tales nociones asumiendo su existencia y propiedades a través de nuevos axiomas.

Así pues, cualquier teoría matemática en la actualidad se fundamenta de la siguiente forma:


  • Se enuncian axiomas para definir (sin definición) los conceptos primarios.
  • Se admiten sin demostración los axiomas que se consideren oportunos (siempre los mínimos posibles, por mor de la elegancia, y evitando que sean contradictorios entre sí).
  • Se deducen lógicamente las restantes propiedades o teoremas.


Hay numerosos sistemas axiomáticos que conviven para explicar distintas partes de las matemáticas: la geometría euclídea, el cálculo de probabilidades, la axiomática de Peano de los números reales,... Pero hay un macrosistema axiomático, debido a Zermelo y Fraenkel, que sirve para modelar casi todo el conocimiento matemático, y que iremos explicando en las próximas entradas (ver el índice).

Esta entrada es mi contribución al III Carnaval de Matemáticas, que está organizado por el blog Geometriadinamica.cl

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