24 sept. 2012

El sistema de numeración decimal, el "ordenador" del siglo XIII

Que el sistema de numeración decimal es importante es algo que uno sabe desde chiquitito, desde siempre, pues ya cuando uno está en los primeros años del colegio le van metiendo en la cabeza la idea de que hacer paquetes de 10 es bueno. Pero yo personalmente, he sido realmente consciente de esta importancia relativamente tarde. Y es que, claro, con la edad uno va ampliando sus conocimientos en otras materias distintas a la Matemática y empieza a comprender las cosas en su situación histórica.

Situémonos por un momento en el siglo XIII, en prácticamente cualquier parte de Europa, en tu país, en tu pueblo... Hagamos el pequeño esfuerzo de concienciarnos de la poca o casi nula tecnología del momento. Hagamos el pequeño esfuerzo de pensar en la ausencia de electricidad, de agua corriente. Hagamos el pequeño esfuerzo de mentalizarnos de la dureza de enfrentarse a la difícil tarea de sobrevivir sin ninguna de las comodidades de hoy día. Además, a todas esas carencias añadámosle una más, la ausencia del sistema decimal. Imaginémonos a los ciudadanos de la época contando con números romanos, o un caso más extremo todavía, haciendo una marca en una tabla por cada unidad que se quiera contar.

Bien, pues a pesar de todo, había comercio, y había transacciones económicas. Había agricultura, y era necesario controlar las cantidades que se producían. Había ganadería, y era necesario llevar una contabilidad de los animales que se tenían. ¿Cuántas horas se perderían en hacer una simple división o una multiplicación? A día de hoy tenemos tan interiorizado que dividir un número entre otro es algo inmediato que es muy difícil que nos imaginemos vivir en un mundo en el que era prácticamente saber cuánto es 1654 entre 253. Cuesta mucho comprender la gran limitación que ello supone al desarrollo de la tecnología.

Un ejemplo concreto. Vas a comprar un terreno, y sabes que una mide 259 m de largo por 723 m de ancho. Sin embargo ves otro por el mismo precio que mide 360 m por 659 m. Como multiplicar esos grandes números era prácticamente imposible ¡NO SABRÍAS CON CUÁL QUEDARTE!

Seguramente, los primeros árabes que utilizaron el sistema decimal (copiado de los hindúes, por cierto) fueron considerados como magos, prácticamente. La ventaja de cálculo con la que contaban seguro que les reportó grandes beneficios (imagínate la que podrían haber formado en un mercado comprando y vendiendo a individuos que eran incapaces de multiplicar y dividir). Y es que el sistema decimal es maravilloso, pues permite utilizar unos sencillos métodos para realizar operaciones, mientras que los otros no.

Pensemos en el sistema unario: el número $N$ se representa por $N$ rayitas. Ya de partida este sistema presenta una clara desventaja, pues para representar el número 259 hay que hacer 259 marcas, y ello es una pérdida considerable de tiempo. Si somos capaces de hacer cuatro o cinco rayas por segundo necesitamos más o menos un minuto para escribir el número. Vamos, un atraso.
Para sumar no hay demasiado problema, pues por ejemplo para sumar 259 y 164 basta con escribir uno seguido del otro. Para restar, casi lo mismo: escribo el primer número y luego voy borrando tantas rayas como indique el segundo. Bueno, parece que no todo es malo en este sistema.

Pero ahora vamos a multiplicar, por ejemplo, 3 por 4. Es decir
multiplicado por
Para ello bastará con sustituir cada raya verde por el "número tres", o sea, escribir cuatro veces el tres.

Parece fácil pero, ¿y para multiplicar 259 por 723? Prefiero ver seguidas todas las temporadas de Arrayán antes que esa multiplicación.
Pero es que además hay problemas aún más sutiles. Imaginemos que me he armado de paciencia y he conseguido hacer la multiplicación anterior para calcular el área del terreno que decíamos más arriba. Ahora ya que estamos me pongo y multiplico igualmente 360 por 659. Quince años después ya he terminado y ahora quiero decidir con qué terreno me quedo. O sea, qué número es más grande. Pero pensemos que lo que tengo es un montón de montones de rayas en un sitio y otro montón en otras. Es difícil saber cuál es mayor, a no ser que las hayamos ido dibujando en fila con mucho cuidado, todas del mismo tamaño y equiespaciadas, de manera que la fila más larga será el número mayor.

En cambio, con el sistema decimal, en cinco minutos podemos tomar una decisión, pues el algoritmo usual de multiplicación funciona como por arte de magia (¡en realidad no lo es!) y nos permite operar y comparar cantidades en poco tiempo. Y esta facilidad de cálculo dio pie a esa ambición humana que consiste en adivinar el futuro a nuestro beneficio: si siembro tantas tomateras para venderlas a tal precio ganaré más que si siembro esta otra cantidad pero a este otro precio; si en vez de utilizar este material para construir este martillo en lugar de este otro puede que me ahorre tanto dinero; y más recientemente, si Movistar me ofrece un móvil "gratis" pero las llamadas me cuestan tanto es que se cree que soy tonto.

En definitiva, el sistema decimal abrió la puerta del diseño, de la planificación, y por tanto supuso una auténtica revolución en la Ciencia y la Tecnología. Tanto como en el siglo XX y XXI ha supuesto la aparición del microprocesador y los ordenadores.

Esta entrada participa en la Edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas alojado en el blog ZTFNews.org.

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