La frustración de las ecuaciones sin solución

Algunas veces en clase aparecen ecuaciones que involucran fracciones algebraicas (esto es, fracciones en las que numerador y/o denominador son polinomios). Para los alumnos puede ser un proceso complejo y laborioso el ir eliminando los denominadores, desarrollar los numeradores, simplificar la expresión resultante, resolver la ecuación de segundo grado... Y sucede en algunas ocasiones que dicha ecuación no tiene solución.

Pues bien, esto suele ser motivo de disputas: "¿y para eso llevamos dos horas haciendo cuentas?", "¡he perdido media hora de mi vida!"

Es curioso cómo pretendemos que todo cuadre, que todo quede atado, y cómo instintivamente nos revelamos ante cualquier atisbo de indeterminación. No nos damos cuenta de que, el descubrir que un problema no tiene solución, ya es en sí mismo una solución. Y si no que se lo pregunten a Andrew Wiles. Dedicó una gran parte de su vida a demostrar que una ecuación (concretamente $x^n+y^n=z^n$, para valores enteros de $x$, $y$, $z$ y $n>2$) no tiene ninguna solución.

Esta ecuación fue planteada por Fermat, ¡más de 300 años antes! La historia de la búsqueda de sus no soluciones es apasionante, y para conocerla recomiendo este libro. Gracias a esta demostración, Andrew Wiles se convirtió  en la década de los 90 en uno de los matemáticos  más importantes de la actualidad, y pasará sin duda a la historia de la humanidad.

Y qué decir de la apasionante historia de Galois y Abel, que consiguieron caracterizar a aquellas ecuaciones de grado mayor que cuatro que son imposibles de resolver mediante métodos algebraicos, como por ejemplo x⁵ - x + 1 = 0. Ojo, no quiere decir que no tengan solución, sino que no podemos encontrarlas mediante las operaciones usuales de multiplicar, dividir, sumar, restar, elevar a una potencia o extraer radicales. Gracias a su trabajo, ambos pasaron a la Historia.

Así que a lo mejor las ecuaciones sin solución no son tan malas...