12 oct. 2011

Idea intuitiva sobre la cohomología


Ojo, todo lo que vas a leer en esta entrada es completamente informal. Soy consciente de los fallos de rigor cometidos, simplemente pretendo comunicar una "intuición" acerca de este tópico matemático tan importante.

La cohomología está presente en muchas ramas matemáticas, y es una de las herramientas actuales para resolver numerosos problemas. Tiene muchas caras distintas (simplicial, singular, de De Rham, de Cesc, de haces,...), pero lo que voy a exponer aquí está en el origen de todo (en mi opinión, por supuesto).

Consideremos un grafo orientado $X$, y el conjunto de funciones desde vértices de $X$ hasta $\mathbb{Z}$. Este conjunto es un grupo abeliano, que denotaremos por $\Delta^0(X)$. Similarmente, el conjunto de funciones que asignan un elemento de $\mathbb{Z}$ a cada arista del grafo será denotado por $\Delta^1(X)$. Vamos a analizar el homomorfismo


$$\delta_0: \Delta^0(X) \rightarrow\Delta^1(X) $$


que envía cada $\varphi \in \Delta^0(X)$ a la función $\delta_0\varphi \in \Delta^1(X)$ cuyo valor sobre una arista orientada $[v_0,v_1]$ del grafo es la diferencia en los vértices $\varphi(v_1)-\varphi(v_0)$.

Por ejemplo, $X$ puede ser un mapa de caminos en una montaña, y en tal caso $\varphi$ podría ser la altitud en cada cruce. Pues bien, $\delta_0 \varphi$ es la pendiente media de cada tramo.

La cuestión es: ¿existe alguna $\psi \in \Delta^1(X)$ que no esté en $Im(\delta_0)$? Pues depende. Si $X$ no contiene ningún lazo cerrado, dada una $\psi$ fija hay infinitas $\varphi \in \Delta^0(X)$ tales que $\delta_0 \varphi=\psi$, basta con tomar un valor arbitrario para $\varphi$ en un vértice cualquiera e ir asignando a los demás los valores correspondientes para que sea compatible con $\psi$.



En cambio, si $X$ contiene un camino cerrado la cosa se complica. Ahora hay muchas funciones que no van a tener una antiimagen. En el árbol de la imagen, por ejemplo, podemos observar que los valores asignado a las aristas del ``camino cerrado'' deben verificar una condición: la suma orientada de los valores de las aristas debe ser cero para que tenga sentido un función de ``cotas'' a nivel de vértices. Luego hay muchas funciones sin antiimagen. ¡Luego el número de tales funciones tiene que ver con el número de caminos cerrados en el grafo, es decir, con su topología! Pero, ¿en qué sentido?

Supongamos que el grafo tiene un camino cerrado, y sea $\psi$ una función de $\Delta^1(X)$ sin antiimagen. Si $\psi \prime$ es una aplicación con antiimagen, está claro que $\psi+\psi \prime$ no tiene antiimagen de manera trivial, luego ``no aporta información'' (toda la peculiaridad está en $\psi$). Para eliminar esta redundancia consideramos el conjunto $$\frac{\Delta^1(X)}{Im(\delta_0)}$$
que recibe el nombre de ``primer grupo de cohomología'', y se denota por $H^1(X,\ZZ)$.

Observemos que al variar el valor asignado a la arista que ``cierra un círculo'' vamos generando todas las clases de $\psi$ distintas, luego $H^1(X,\ZZ)$ son tantas copias de $\mathbb{Z}$ como caminos cerrados haya en el grafo.

Subamos ahora una dimensión. Supongamos que $X$ es un grafo tridimensional y con algunas caras (una especie de poliedro junto con aristas y vértices sueltos). Ahora el grupo $H^1$ tal y como estaba definido está detectando la presencia de un hueco y puede que no lo haya (pues puede que en ese camino cerrado hayamos incluido una cara). La solución pasa por redefinir el grupo de la siguiente manera:
$$H^1(X,\mathbb{Z})=\frac{Ker (\delta_1)}{Im (\delta_0)}$$
siendo $\delta_1: \Delta^1 \rightarrow \Delta^2$, con $\Delta^2$ el grupo generado por las caras de $X$, y siendo $\delta_1$ tal que para $\psi \in \Delta^1$ tenemos que $$(\delta_1 \psi) (Cara)=\sum_{Aristas} \psi(A)$$

Así, si una $\psi \in \Delta^1$ detecta un hueco (es decir, es imagen de una $\varphi \in \Delta^0$) pero realmente no lo hay, entonces no pertenece a $Ker(\delta_1)$.





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