Mi último trabajo, First integrals without integrating factors or symmetries, acaba de ser publicado con Springer Nature en Qualitative Theory of Dynamical Systems. Se puede leer aquí.
Encontrar cantidades conservadas, es decir, integrales primeras, es una de las técnicas clave para comprender una ecuación diferencial ordinaria. Tradicionalmente, esto requiere o bien descubrir una simetría de la ecuación (al estilo de la teoría de Lie), o bien hallar un factor integrante. Ambos enfoques son potentes, aunque tienen sus dificultades: la detección de simetrías puede fallar, y resolver las ecuaciones en derivadas parciales para los factores integrantes suele ser imposible en la práctica.
En este artículo propongo una ruta distinta: un método geométrico basado en la integrabilidad completa del sistema de Pfaff naturalmente asociado a una EDO. Formulamos el problema en el lenguaje de los fibrados de jets y las formas de contacto, evitando tanto las simetrías como los factores integrantes. En su lugar, convertimos la búsqueda de una integral primera en la resolución de un sistema de EDPs derivado del teorema de Frobenius.
Lo que hace interesante a este enfoque no es que sea “más fácil” (de hecho, puede ser más difícil computacionalmente), sino que funciona en situaciones donde las técnicas clásicas pueden fallar. El artículo lo demuestra en EDOs de segundo, tercer y cuarto orden, incluyendo ecuaciones sin simetrías de Lie.
El resultado es una herramienta complementaria para las EDOs rebeldes. Su naturaleza algorítmica lo convierte en un candidato natural para implementaciones en álgebra computacional (Maple, Mathematica), donde la prueba sistemática de ansätze podría ampliar aún más sus posibilidades de éxito.
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