16 ago. 2012

[Las matemáticas desde el principio] Pero, ¿qué es un conjunto? II

En la entrada anterior de esta serie comenzamos a estudiar la estructura que Zermelo y Fraenkel dieron a la "película de los conjuntos" (según su propia opinión, claro está), y que es la que está más ampliamente aceptada por la comunidad matemática. Habíamos visto unos cuantos axiomas que trataban de establecer la existencia y comportamiento básico de unos objetos abstractos, llamados conjuntos y que, "curiosamente", se parecen a una idea común que prácticamente cualquier ser humano tiene en la cabeza: la idea de colección, de saco, de clase,...

En esta nueva entrada vamos a ver otros axiomas que permiten a los objetos conjuntos tener una propiedades muy apañadas a la hora de hacer matemáticas. Por ejemplo, en los más diversos ámbitos matemáticos se utiliza la noción de par ordenado (dos elementos con un orden prefijado). Para dotar de sentido a dicha noción en el contexto de los conjuntos necesitamos el siguiente axioma:

Axioma VI (de formación de pares): Si $a$ y $b$ son conjuntos, existe un conjunto $c$ tal que $a \in c$ y $b \in c$.

Con el uso combinado de este axioma y el axioma III podemos formar el conjunto
$\{d \in c : d=a \quad o \quad d=b\}$, que es el conjunto cuyos únicos elementos son $a$ y $b$. Si bien este conjunto, que denotaremos por $\{a,b\}$, tiene sólo un par de elementos no es un par ordenado.  Por otra parte, si fuese $a=b$, tendríamos un conjunto con un único elemento que denotaremos por $\{a\}$.

Si consideramos el conjunto formado únicamente por los elementos $\{a\}$ y$ \{a,b\}$ obtenemos $\{\{a\}, \{a,b\}\}$, y este objeto sí puede ser considerado como el par ordenado $(a,b)$ que tenemos en nuestra intuición, pues tiene dos elementos y prioriza a uno de ellos. Así que de ahora en adelante tomaremos $(a,b)=\{\{a\}, \{a,b\}\}$.

Con esto, ya estamos en condiciones de definir formalmente lo que es el producto cartesiano de dos conjuntos. Insisto: la idea de producto cartesiano está en nuestra cabeza desde que somos niños (combinar todos los pantalones de una muñeca con todas sus camisas, aunque que conste que yo jugaba con coches y camiones...). Lo que aquí vamos a ver es una definición en el contexto creado por Zermelo y Fraenkel que coincide sospechosamente con esa idea que tenemos en mente.

Pero antes observemos lo siguiente. Sean nuevamente $a$ y $b$ dos conjuntos no vacíos, siendo $x \in a$ e $y \in b$. Entonces puesto que $\{x\} \subset a\cup b$ y $\{x,y\}\subset a\cup b$, se tiene que  $(x,y) \subset \mathcal{P}(a\cup b)$, o expresado de otra forma, $(x,y) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(a\cup b))$.

Así pues, llamamos producto cartesiano y lo denotamos por $a \times b$ al conjunto
$a\times b=\{e \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(a \cup b)): e=(c,d) \text{ con } c \in a,d\in b\}$. Observa que la existencia de tal conjunto queda garantizada por el axioma de separación. A partir de aquí se pueden definir conceptos como el de relación, correspondencia, aplicación,... pero dejémoslo para una entrada posterior.

Llegados a este punto nos quedan cuatro axiomas para terminar de montar las matemáticas:

Axioma VII (de sustitución): Si $P$ es una propiedad relativa a pares de conjuntos tal que la afirmación de que los pares $(e,c)$ y $(e,d)$ verifican $P$ implica que $c=d$, entonces para cada conjunto $a$ existe un conjunto $b$ tal que $d\in b$ si y sólo si existe un $c \in a$ tal que $(c,d)$ verifica $P$.

Axioma VIII (del infinito): Existe al menos un conjunto $a$ que verifica:

  1. $\emptyset \in a$
  2. Para cada $b \in a$ se verifica que $b \cup \{b\} \in a$.
Los conjuntos que verifican las dos condiciones anteriores se llaman conjuntos inductivos, por lo que el axioma podría enunciarse como "existe al menos un conjunto inductivo". Además, se utiliza normalmente la siguiente notación $s(b)=b \cup \{b\}$, y llamamos a tal conjunto el "siguiente de $b$". Esto último encierra una gran belleza, que será desvelada en una entrada posterior, y permite CREAR el conjunto de números naturales.

Axioma IX (de regularidad). Si $a$ es un conjunto no vacío existe un $b\in a$ tal que si $c \in b$ entonces $c \notin a$.

Axioma X (de elección). Para toda colección $F$ de conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos (es decir, la intersección de dos cualesquiera de ellos es el conjunto vacío) existe un conjunto $d$ que contiene exactamente un elemento de cada conjunto de $F$.

Este último axioma es altamente controvertido, porque usándolo debidamente permite demostrar afirmaciones que contradicen totalmente nuestra intuición. Pero lo veremos en detalle más adelante.

Finalizo esta entrada recomendando el genial libro Dominios Algebraicos Numéricos, Los principios del Análisis Matemático, de Antonio Aizpuru. De momento está siendo mi principal fuente para estas entradas.

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