Esferas en dimensión 4, o la caza de la hormiga

En esta entrada vamos a intentar explicar un poco qué se siente al vivir en un mundo de dimensión 4. En primer lugar, veremos que podemos entrar en el interior de una esfera normal sin romper la pared. Y en segundo lugar trataremos de describir lo que sentiríamos si nuestro mundo no fuese el clásico universo 3D más conocido como $\mathbb{R}^3$, sino otro también de 3 dimensiones llamado $S^3$.

Pero antes de empezar vamos a poner nombre a las cosas. Las circunferencias de toda la vida tienen un nombre más técnico para los matemáticos: $S^1$. En cambio una esfera (vamos, una pelota) recibe el nombre de $S^2$. Este parecido en los nombres no es casual: desde que somos niños intuimos que las circunferencias y las esferas tienen algo en común. De hecho son "lo mismo" salvo por el detalle de que las circunferencias son de dimensión 1 (solamente te puedes mover hacia delante o hacia atrás) y las esferas son de dimensión 2 (si vivieses en una te podrías mover delante-detrás pero también izquierda-derecha. Ups, de hecho vivimos en una). 

Ahora vamos a imaginarnos que quiero capturar una hormiga usando una circunferencia $S^1$ (aunque con cierto "grosor" para que no se escape). Pongo mi $S^1$ sobre una mesa y con comida en su interior, y llega la hormiga:

 Creo que no es necesario recordar que yo vivo en $\mathbb{R}^3$ y la hormiga en $\mathbb{R}^2$ (la mesa). Dado que es un ser bidimensional (aproximadamente) su visión es unidimensional: vamos, una rejilla. Así que lo que la hormiga se encuentra, desde su punto de vista, es lo siguiente:

Una observación: análogamente a $S^1$ y $S^2$ los matemáticos también definen lo que sería una esfera 0-dimensional, $S^0$. Serían únicamente dos puntos. Y otra más: cuando encima de una esfera escribamos una rayita querrá decir que consideramos que está "rellena". Así que lo que para nosotros es $S^1$, para la hormiga es $\bar{S^0}$. Cuando se acerque, la toque y la rodee, puede que perciba, a su manera, que en realidad es $S^1$ aunque visualmente le parezca un  $\bar{S^0}$.

Volvamos a la primera imagen. Para atrapar a la hormiga, giramos nuestra $S^1$. Pero imagina que la mesa y la circunferencia están diseñadas de manera que puedo girarla atravesando la mesa:

Para nuestra hormiga, la $\bar{S^0}$ se ha quedado hueca, convirtiéndose en $S^0$, y dejando ver comida en su interior:

 La hormiga va por la comida, ponemos la circunferencia en la posición original, y hormiga atrapada.

Pero ahora imagina que un malvado ser superior, habitante de un mundo de 4 dimensiones ($\mathbb{R}^4$) dentro del cual está el nuestro decide gastarnos una jugarreta similar (cosas del karma).

Ahora la mesa "representa" nuestro mundo $\mathbb{R}^3$, y la circunferencia con comida dentro simboliza una esfera vacía $S^2$ en cuyo interior han puesto comida para nosotros. Desde nuestro punto de vista, desde lejos lo que vemos es un $\bar{S^1}$, es decir, un disco relleno. Pero cuando nos acercamos, tocamos y la rodeamos, nos damos cuenta de que es una esfera $S^2$. Por supuesto, no vemos la comida que está dentro:

En un momento dado, el malvado ser tetradimensional gira su trampa tal y como hicimos nosotros. ¿Qué percibiremos con nuestra limitada visión bidimensional? Pues que mágicamente el objeto se ha convertido en $S^1$, o sea, un anillo, dejando ver comida en su interior:

Cuando nos lanzamos a por ella, cierra la trampa y nos deja atrapado dentro de la esfera $S^2$... ¡sin haberla roto y sin abrir ninguna puerta!

Pero cambiemos de tema, por si hay algún claustrofóbico entre el público. Hemos hablado de $S^0$, $S^1$ y $S^2$, objetos que tenemos en nuestra mente desde que vamos a la guardería. Pero ahora vamos a plantearnos: ¿qué sería $S^3$?, ¿qué se sentiría al vivir ahí?

Bien, $S^3$ no cabe en nuestro mundo 3D, sólo puede vivir en $\mathbb{R^4}$. Del mismo modo que $S^2$ no puede vivir en un plano $\mathbb{R^2}$: no cabría. Su existencia sólo tiene sentido en $\mathbb{R^3}$. Pero podemos tener una cierta visualización de $S^3$.

Volvamos a la situación de partida, nuestra primera imagen. La hormiga no está preparada sensorialmente para percibir $S^2$, tal y como nos ocurre a nosotros con $S^3$, pero podemos ayudarla. Vamos a ir apilando muchos $S^1$ encima del que ya hay, dando lugar a un cilindro. Cuando la hormiga llegue al nuevo objeto y se pegue a él habrá cambiado de universo. Y se encontrará en un mundo muy similar al suyo, puede moverse izquierda-derecha, pero también arriba-abajo enfrentándose a la gravedad. La única peculiaridad respecto a la mesa es que en la dirección horizontal "puedo dar la vuelta". 

Pero si los $S^1$ que vamos pegando son cada vez más pequeños, lo que aparece es un $S^2$:

En este caso, cuando la hormiga pase del "universo mesa" ($\mathbb{R}^2$) al "universo pelota" ($S^2$) sí notará cambios. Pues ahora, además de que horizontalmente puede "dar la vuelta" y regresar a donde estaba, cuando empiece a trepar, con esfuerzo, venciendo la gravedad, llega un momento en que deja de tener que esforzarse por subir: ha alcanzado la cima. Ojo, ella visualmente no nota nada, son sólo sensaciones internas, pues es una hormiga y su campo de visión es muy reducido. Está esforzándose por subir y, llegado un punto, no tiene que esforzarse más. Es más, tiene que esforzarse por frenar, pues al seguir avanzando se ha puesto cabeza abajo, bajando por el otro lado. 

Además, la hormiga advierte que cuando quiere dar la vuelta al mundo horizontalmente, cuando está más alto le cuesta menos (pues las circunferencias son cada vez más pequeñas).

Pero volvamos a nosotros. Nuestro mundo actual, $\mathbb{R}^3$ se parece al "cilindro" de la hormiga, en el sentido de que podemos movernos por el plano (con la peculiaridad de que puedo volver al mismo punto si doy la vuelta a la Tierra). Pero si subo, venciendo la gravedad con ayuda de una mochila propulsora, teóricamente podría subir todo lo que quiera.

¿Qué sentiríamos al vivir en $S^3$? Pues bien, sería todo muy parecido, pues es un mundo de 3 dimensiones. Podemos considerar que $S^3$ surge de manera análoga a la semiesfera de nuestra hormiga: vamos pegando $S^2$ cada vez más pequeñitos, al $S^2$ que nos puso el extraterrestre:

Cuando nos traspasen a ese nuevo universo $S^3$ a priori no sentiremos nada. Seguiremos sintiendo la gravedad, seguiremos estando en una pelota, nuestro planeta Tierra. Pero ahora, cuando subamos con nuestra mochila propulsora, venciendo la gravedad, notaremos dos cosas:

1. Llegará un punto en el que dejaremos de sentir la gravedad: cuando lleguemos arriba del todo. Para nosotros, visualmente, no será un punto peculiar, pues nuestra visión es limitada y no es capaz de ver el mundo de 4 dimensiones como le pasaba a la hormiga con la dimensión 3. Es más, si avanzamos un poquito, ¡empezamos a caer de repente! Repito, visualmente no notaríamos nada.

2. Antes de empezar a subir, avancemos en la dirección horizontal que avancemos, siempre volvemos al mismo punto. Pues bien, si en algún momento de nuestro ascenso decidimos mantener la altitud constante y avanzar en horizontal hacia cualquier dirección, siempre volveremos al mismo punto (estamos en un nuevo $S^2$), pero tardaríamos mucho menos en dar la vuelta, porque los $S^2$ que hemos amontonado eran cada vez más pequeñitos. De hecho, en el punto especial señalado en el párrafo anterior hay colapsado todo un $S^2$. 

Para acabar, una última cuestión: ¿merece la pena perder el tiempo en pensar todo esto? Pues sí. En primer lugar porque de hecho no sabemos la forma que tiene nuestro universo, pero lo que es seguro es que no es $\mathbb{R}^3$. Así que está bien imaginarnos alternativas, para ver si damos con la tecla de cuál es. Y en segundo lugar, porque sí que existen situaciones físicas y matemáticas en las que aparece el objeto $S^3$, y es importante saber cómo es. Por ejemplo, la colección de todas las rotaciones de objetos tridimensionales es casi $S^3$.  Y entender bien las rotaciones de objetos en el espacio es muy importante para la física o para la creación de un videojuego.

Puedes encontrar más ideas matemáticas y físicas explicadas de manera intuitiva en mi otro blog: what I have learned today.