Y en este otro enlace la de la opción B.
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11 jun 2018
Derivabilidad de funciones a trozos
Para estudiar la derivabilidad de una función en un punto, sea a trozos o no, hay que usar la definición de derivada. El problema es que para determinadas funciones a trozos, el límite resultante puede ser relativamente complicado. Es por ello que los profesores de bachillerato solemos contar a los alumnos un truco...
El truco consiste, ni más ni menos, que en obtener la función derivada de f usando las reglas de derivación, en cada trozo, pero excluyendo los "bordes" del dominio de cada trozo, es decir, los puntos de cambio de trozo. Después bastará con comprobar que ambas derivadas "pegan bien", es decir, la recién obtenida función es continua.
Llegados aquí, pueden pasar dos cosas.
1. Si resulta que la función f' puede extenderse a continua (porque los trozos derivados pegan bien), pues afirmamos que la función f es derivable.
2. Si los trozos derivados no pegan bien, decimos que f no es derivable en ese punto.
Pues bien, lo afirmado en el punto 2 no es correcto. Imaginemos la función:
Esta función es derivable en 0, se puede comprobar. Pero su derivada es
que no es continua en 0.
Es decir, hay funciones derivables cuya derivada no es una función continua (es decir, los trozos de su derivada no pegan bien pero sí es derivable). Se dice que son funciones derivables pero no de clase $C^1$. Más aquí.
Entonces, ¿tenemos que renunciar a este maravilloso truco? ¿Hay que usar siempre la definición de derivada? No todo está perdido. Si los trozos no pegan bien pero los límites existen y son finitos, entonces sí podemos afirmar que la función no es derivable.
Veámoslo:
Sean $g$ y $h$ funciones continuas y derivables, y sea:
$
f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g( x) ) } & { x < c } \\ { h ( x ) } & { x \geq c } \end{array} \right.
$
Entonces, la derivada será:
$
f '( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g'( x) ) } & { x < c } \\ { h' ( x ) } & { x > c } \end{array} \right.
$
No sabemos si $f$ es, a priori, derivable en $c$ o no. Lo será si $\lim _ { x \rightarrow c } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }$ existe y es finito, es decir, existen:
$
L_1=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g( x ) - h \left(c \right) } { x -c }
$
y
$
L_2=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { h( x ) - h \left(c \right) } { x -c }
$
y además son iguales y finitos. En caso contrario, no es derivable.
Supongamos que $\lim _ { x \rightarrow c^{-} }g'(x)=a \neq b=lim _ { x \rightarrow c^{+} }h'(x)$. Entonces, aplicando la regla de L'Hopital:
$
L_1=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g( x ) - h \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g'( x ) } { 1}=a
$
y
$
L_2=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { h( x ) - h \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { h'( x ) } { 1}=b
$
Por tanto, $L_1 \neq L_2$ y, por tanto, $f$ no es derivable en $c$.
El truco consiste, ni más ni menos, que en obtener la función derivada de f usando las reglas de derivación, en cada trozo, pero excluyendo los "bordes" del dominio de cada trozo, es decir, los puntos de cambio de trozo. Después bastará con comprobar que ambas derivadas "pegan bien", es decir, la recién obtenida función es continua.
Llegados aquí, pueden pasar dos cosas.
1. Si resulta que la función f' puede extenderse a continua (porque los trozos derivados pegan bien), pues afirmamos que la función f es derivable.
2. Si los trozos derivados no pegan bien, decimos que f no es derivable en ese punto.
Pues bien, lo afirmado en el punto 2 no es correcto. Imaginemos la función:
Es decir, hay funciones derivables cuya derivada no es una función continua (es decir, los trozos de su derivada no pegan bien pero sí es derivable). Se dice que son funciones derivables pero no de clase $C^1$. Más aquí.
Entonces, ¿tenemos que renunciar a este maravilloso truco? ¿Hay que usar siempre la definición de derivada? No todo está perdido. Si los trozos no pegan bien pero los límites existen y son finitos, entonces sí podemos afirmar que la función no es derivable.
Veámoslo:
Sean $g$ y $h$ funciones continuas y derivables, y sea:
$
f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g( x) ) } & { x < c } \\ { h ( x ) } & { x \geq c } \end{array} \right.
$
Entonces, la derivada será:
$
f '( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g'( x) ) } & { x < c } \\ { h' ( x ) } & { x > c } \end{array} \right.
$
No sabemos si $f$ es, a priori, derivable en $c$ o no. Lo será si $\lim _ { x \rightarrow c } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }$ existe y es finito, es decir, existen:
$
L_1=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g( x ) - h \left(c \right) } { x -c }
$
y
$
L_2=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { h( x ) - h \left(c \right) } { x -c }
$
y además son iguales y finitos. En caso contrario, no es derivable.
Supongamos que $\lim _ { x \rightarrow c^{-} }g'(x)=a \neq b=lim _ { x \rightarrow c^{+} }h'(x)$. Entonces, aplicando la regla de L'Hopital:
$
L_1=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g( x ) - h \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g'( x ) } { 1}=a
$
y
$
L_2=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { h( x ) - h \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { h'( x ) } { 1}=b
$
Por tanto, $L_1 \neq L_2$ y, por tanto, $f$ no es derivable en $c$.
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23 sept 2012
Irracionalidad de raíz cuadrada de dos
Aquí dejo un documento para los alumnos de 4º ESO opción B. En él se explica lo que vimos en la última clase acerca de por qué la raíz de dos es un número "nuevo" respecto a los racionales.
Irracionalidad de raíz cuadrada de dos
22 jun 2012
Entrega de premios de la Liga de Matemáticas
El pasado jueves 21 de junio se celebró la entrega de premios de la Liga de Matemáticas.
Puedes ver las imágenes en esta dirección.
El año que viene, más.
20 oct 2011
¿Y eso para qué sirve?
Siguiendo con la temática de la utilidad de las Matemáticas (pero esta vez un poco más en serio) voy a incluir un artículo que escribí para la edición de 2008 de El Barrio (libro publicado por el I.E.S. San Juan de Dios). Espero que lo leáis y me hagáis algún comentario crítico:
¿Y eso para qué sirve?
O también, ¿yo cuándo voy a utilizar eso? Esas son las preguntas que más suelo escuchar en las clases de Matemáticas. Y es normal. Suele ser lo habitual que uno no se encuentra un polinomio en medio de la calle, ni calcula raíces cuadradas para saber cuánto te van a devolver cuando pagas en la tienda. Si le preguntamos a alguien amablemente su edad, es cuando menos extraño que nos conteste “hace quince años mi edad era justo la tercera parte de la que tengo ahora…”.
En el día a día, a nadie le interesa saber “si un tren sale del punto A con una velocidad de 95 km/h y otro del punto B en dirección opuesta a 150 km/h, ¿a qué distancia de A chocarán?”... ¡por Dios, que alguien llame a los maquinistas por el móvil y acabamos con el problema!
Todos tenemos la sensación de que los problemas de Matemáticas no son auténticos problemas: son situaciones completamente anormales que nos piden que resolvamos mediante una receta que nos han enseñado previamente. Pensemos un ejemplo concreto: La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 148 años. El padre es 6 años mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 21 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Este es un típico problema de sistemas de ecuaciones, que cualquier alumno de 4º de E.S.O. debería ser capaz de resolver. Ahora bien, ¿cuándo tendremos la necesidad de resolver este problema en la vida real? Sinceramente: nunca.
¿Por qué existen entonces tantos miles de profesores de Matemáticas?, ¿por qué nos amargan nuestra infancia con esa gran cantidad de sumas de fracciones, divisiones por Ruffini, cálculo de derivadas y demás técnicas refinadas de tortura?, ¿por qué las Matemáticas han existido desde hace más de 50 siglos? Pues aunque parezca mentira: por su UTILIDAD.
Para argumentar mi afirmación, necesito que nos remontemos a una época en la que todavía era difícil distinguir a un ser humano de cualquier otro primate. Hagamos un pequeño esfuerzo, e imaginémonoslo, corriendo por el medio del campo, sin agua corriente, sin calefacción en invierno y sin el Messenger whatsapp. Sufriendo cada día por la mañana temprano para cazar algo con que comer. Ahora centrémonos en dos individuos concretos de esta raza de cuasi-hombres. Uno de ellos no tiene ninguna habilidad matemática. El otro, en cambio, es capaz de contar hasta veinte (aritmética), y de distinguir algunas formas simples como triángulos (geometría). ¿Cuál de ellos está en condiciones de inventar una lanza con la que cazar mejor? Posiblemente, aquél que tiene un mínimo de intuición geométrica pueda diseñar una punta triangular para su lanza. ¿Quién será capaz de seleccionar zonas donde los árboles dan más frutos? Seguramente el que tiene más capacidad para contar.
Es decir, el conocimiento matemático ha proporcionado una ventaja para conseguir más alimentos, vivir más años y, por tanto, conseguir una sociedad más avanzada. Y esto no ha cambiado con el tiempo, sino más bien lo contrario. Pensemos en distintos hechos que se fueron sucediendo cuando la sociedad fue avanzando: comercio, reparto de tierras, transacciones económicas simples y, posteriormente, complejas, diseño de armas, trazado de mapas, navegación avanzada, conquista del espacio, programa de puntos de Movistar… todos estos hechos tienen en común una importante base matemática. O dicho de otra forma, el conocimiento matemático es el que ha permitido la gran mayoría (si no todos) de los descubrimientos de la Humanidad.
Circula por Internet una viñeta en la que varios personajes dicen:
- La Sociología no es más que Psicología aplicada.
- La Psicología no es más que Biología aplicada.
- La Biología no es más que Química aplicada.
- La Química no es más que Física aplicada.
- La Física no es más que Matemática aplicada, así que lo único importante son las Matemáticas.
Evidentemente, se trata de una exageración, pero algo de verdad sí que tiene. Las Matemáticas constituyen el soporte de todas las Ciencias, o dicho de otra forma, son las raíces del Árbol de la Ciencia, en la cual se apoyan todas las demás.
“Vale, y yo me lo creo”, estará pensando el lector. Reconozco que es difícil de creer que las Matemáticas sean tan importantes, pero hace falta mucha paciencia y horas de dedicación para que podamos comprender, por nosotros mismos, que esto es así. Pero la cuestión es que si queremos que la sociedad siga avanzando, que descubramos la máquina del tiempo y del teletransporte, ordenadores más rápidos y una nave que viaje a la velocidad de la luz, un robot que nos haga la comida y nos limpie la casa, debemos conocer, como sociedad, las Matemáticas.
“Muy bien, pero si yo no voy a inventar nada, ¿para qué tengo/he tenido que estudiarme tantísimos mecanismos para resolver ecuaciones y calcular derivadas?”. Principalmente, hay tres motivos para obligar a los niños y adolescentes a que estudien Matemáticas:
En primer lugar, porque un cierto nivel matemático debe formar parte de la cultura mínima de cada persona. Es decir, todos necesitamos poseer cierta “competencia matemática”. Hay un contenido matemático que sí vamos a utilizar, efectivamente, en nuestro día a día. ¿Ejemplos? Muchos: calcular lo que nos deben devolver al pagar en la tienda con un billete de cincuenta euros, ajustar la proporción de ingredientes de una receta de cocina, elegir la mejor opción de entre varias posibilidades al invertir nuestro dinero en el banco, hacer cálculos geométricos básicos para colgar un cuadro en la pared, o estimar la probabilidad de que nuestro equipo gane la liga cuando estamos hablando con nuestros amigos.
Las Matemáticas están presentes en nuestra vida cotidiana, lo queramos o las odiemos, nos gusten o nos den asco. Así que ya que están, deberíamos intentar llevarnos mejor con ellas.
El segundo motivo por el que es importante que nos llenen la cabeza con objetos matemáticos desde pequeñitos es el desarrollo de nuestra inteligencia. Los procesos que se llevan a cabo en esta materia requieren, como todos sabemos, de un considerable esfuerzo. Es fácil que acabemos fatigados cuando intentamos entender un ejercicio complicado de Matemáticas. ¿Sirve esto para algo aparte de para que Bayer venda más aspirinas? Pues sí. Un ejemplo: un deportista puede acabar destrozado tras una sesión de entrenamiento, pero es feliz porque sabe que gracias a ello habrá mejorado su capacidad. Pues del mismo modo, cuando nos enfrentamos, aunque sea sin éxito, a los complejos razonamientos y procesos a los que nos obligan los profesores de Matemáticas estamos mejorando nuestro intelecto. Estamos consiguiendo que nuestro cerebro madure, y se acostumbre a pensar con frialdad. Es un proceso lento, así que casi no podemos darnos cuenta. Pero lo cierto es que las típicas estructuras cerebrales de “si... entonces...”, “puesto que no.... entonces tampoco...”, o la simple capacidad de estructurar un proceso complejo en varios pasos simples, así como las ideas abstractas de “crecimiento”, “en el infinito” o “simplificación” se quedan grabadas en lo más profundo de nuestro pensar, aportando solidez a nuestras argumentaciones (aunque estén fuera del ámbito matemático).
Por último, otra razón para estudiar Matemáticas es su belleza. Puede parecer un poco exagerado, pero en ocasiones esta materia es divertida e incluso bonita. Las ideas que se nos presentan esconden la mayoría de las veces un derroche de ingenio que no pueden ser calificadas de otra forma sino de bellas. ”Pero entonces, ¿por qué me resulta tan tremendamente aburrido estudiar matemáticas?”, pensará, indignado, el paciente lector. La razón es la siguiente: para apreciar esta belleza es necesario estar entrenado.
Permítaseme un ejemplo: imaginemos que un amigo nuestro ha traído al pueblo a un primo suyo, que se trata de una persona perfectamente normal salvo por un pequeño detalle: en su vida ha oído hablar de un deporte llamado fútbol. Un día estamos viendo un partido con él, y alguno de los espectadores exclama: “¡Vaya pedazo de gol!, ¡ha sido un gol precioso!“ ¿No se quedará completamente extrañado de que llamemos “precioso” al hecho de que una persona golpee un objeto esférico hasta introducirlo entre tres palos? Seguramente se sentirá tan contrariado como nosotros cuando arriba hemos dicho que las Matemáticas son bonitas. Si lo pensamos, nos daremos cuenta de que lo que hace que este chaval no pueda apreciar la belleza del gol al igual que el resto de los espectadores es su “entrenamiento”. No entrenamiento deportivo, sino el que se produce por el hecho de haber visionado mil partidos de fútbol a lo largo de nuestra vida. Hablando claro: hemos tenido que ver antes muchos goles malos para que ahora podamos apreciar un buen gol.
Pues en Matemáticas, lo mismo. Es una disciplina que requiere dedicación y paciencia. Por supuesto que también es importante que los profesores nos sepan transmitir las ideas, de lo cual doy fe que no es una tarea fácil.
En definitiva, las Matemáticas constituyen, en comunión con las otras Ciencias, uno de los más grandes proyectos conjuntos de la Humanidad: el Conocimiento. Un proyecto que ha ido perfeccionándose generación tras generación, gracias a la aportación de una infinidad de personas gracias a las cuales debemos, en parte, las comodidades que disfrutamos hoy día. Y por ello es importante que conozcamos, al menos, una minúscula parte de ese vasto edificio. Y al que le guste, que lo compre.
19 sept 2011
Doblando papel
Hoy he dicho en clase que no se puede doblar un papel por la mitad más de ocho veces. La verdad es que no es estrictamente cierto: en el siguiente vídeo se puede comprobar que es posible doblarlo hasta 10 veces. De hecho, el actual récord del mundo está en 12 pliegues. Así que ya sabes: ¡dóblalo 13 veces y te harás famoso!
16 sept 2011
Los cangrejos Heike
Como he comentado hoy en clase, estos cangrejos parecen tener una "cara de samurai" en su caparazón. En esta antigua entrada puse dos vídeos al respecto.
Como dije en clase, la capacidad matemática fue para nuestros antepasados como la "cara de samurai" para estos cangrejos, una característica que nos permitió adaptarnos mejor al medio. Por ello, al igual que la cara de samurai se fue perfeccionando de generación en generación en los cangrejos, la capacidad matemática en nosotros también (aparte de la educación, claro). Es por eso que actualmente hemos alcanzado un grado de desarrollo matemático tal que nos permite tener ordenadores, televisión vía satélite o mandar robots a explorar Marte.
Como dije en clase, la capacidad matemática fue para nuestros antepasados como la "cara de samurai" para estos cangrejos, una característica que nos permitió adaptarnos mejor al medio. Por ello, al igual que la cara de samurai se fue perfeccionando de generación en generación en los cangrejos, la capacidad matemática en nosotros también (aparte de la educación, claro). Es por eso que actualmente hemos alcanzado un grado de desarrollo matemático tal que nos permite tener ordenadores, televisión vía satélite o mandar robots a explorar Marte.
15 feb 2010
Para corregir ejercicios en el ordenador
Acabo de descubrir Wolfram Alpha. Consiste básicamente en una línea de comandos en la que podemos introducir cualquier contenido matemático, y el programa nos devuelve numerosa información en relación a lo que hayamos preguntado.
Así, por ejemplo, puedo introducir la expresión x^2+2x+1, y el programa me devuelve una gráfica de tal función, su factorización, su expresión simplificada (si la hubiese), su derivada, su integral....
Por supuesto, puede ser utilizada como una simple calculadora, pero su potencial va mucho más allá. Tiene, por tanto, mucha utilidad para cualquier estudiante. A partir de ahora podréis comprobar aquí si los ejercicios que os mande están bien hechos o no, seáis del curso que seáis.
Sólo tenéis que tener precaución con la sintaxis: para elevar a una potencia se utiliza ^. Para multiplicar se deja un espacio o se escribe "*". Para dividir, la barra lateral: "/". Os recomiendo que lo probéis
26 oct 2009
¡Un español inventó la calculadora!
Puede parecer sorprendente pero así es. Un invento tan importante como la calculadora, que ha permitido tantos otros avances científicos, y que constituye hoy día una herramienta imprescindible en un sin fin de situaciones, fue inventado por un español.
Concretamente por el gallego Ramón Silvestre Verea García. Desgraciadamente, este hombre es un completo desconocido para el común de los mortales.
Puedes encontrar más información en las páginas:
y
-
16 sept 2009
16 mar 2009
Derecho a pensar
Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.
Hypatia de Alejandría.
- La primera, porque la mujer a la que se atribuye la cita (la protagonista de la película de Amenábar, "Ágora") pagó caro tomarse el derecho a pensar.
- La segunda, porque describe a la perfección la actitud que hay que adoptar a la hora de estudiar Matemáticas. No conviene para nada intentar aprender a realizar los ejercicios de memoria, cambiando por un 2 lo que en otro ejercicio era un 3, sin razonar... Debemos acostumbrarnos a hacer los ejercicios pensando, asegurándonos de que en cada paso tengamos un porqué, una razón de ser. Puede que nos equivoquemos, sí, pero si hemos hecho el esfuerzo de pensar una explicación en cada paso que damos, estamos en el camino correcto, y aprenderemos sin dificultad en cuanto nos den la explicación correcta. En cambio, memorizar ejercicios para luego hacer los demás por simple "sustitución", sin entender el contenido de fondo, es perder el tiempo.
- La tercera, porque esta frase ilustra una actitud que es conveniente adoptar en nuestra vida. Me parece altamente recomendable tener claro en cada momento qué estamos haciendo y por qué lo estamos haciendo (¿por qué voy al instituto?, ¿por qué me gusta ver la tele?, ¿qué gano si me llevo toda la tarde jugando al ordenador?, ¿verdaderamente soy "guay" por ir en el coche con la música puesta a todo volumen molestando a los demás?...) . No creo que sea la mejor opción ir en la vida dando tumbos, haciendo las cosas sin "saber por qué", simplemente porque los demás las hacen. Se trata de que llevemos a cabo nuestras acciones pensando, pues aunque nos equivoquemos, pensar de manera errónea es mejor que no pensar.
Hace poco leí esta frase de Hypatia, y me gustó sobremanera. Me recordó a una máxima que aprendí cuando jugaba al ajedrez: es mejor jugar con un mal plan que jugar sin plan.
Pongamos un ejemplo futbolístico, que creo que se va a entender mejor. El Real Madrid se dispone a jugar un partido. El entrenador le dice a los jugadores que hagan lo que les dé la gana, y que sea lo que Dios quiera. Aunque es posible que el equipo gane, lo normal es que ese partido lo pierda. Si gana, el entrenador no sabrá por qué ha sido, y si pierde tampoco, con lo cual no podrá reparar los errores para el próximo enfrentamiento.
En cambio, si el entrenador organiza un plan de juego, sea cual sea el resultado del partido, seguro que algo habrá ganado: información acerca de cómo debe plantear el próximo encuentro. Esta es la forma más segura de aprender.
Hay tres razones por las que me gusta tanto esta cita:
Pongamos un ejemplo futbolístico, que creo que se va a entender mejor. El Real Madrid se dispone a jugar un partido. El entrenador le dice a los jugadores que hagan lo que les dé la gana, y que sea lo que Dios quiera. Aunque es posible que el equipo gane, lo normal es que ese partido lo pierda. Si gana, el entrenador no sabrá por qué ha sido, y si pierde tampoco, con lo cual no podrá reparar los errores para el próximo enfrentamiento.
En cambio, si el entrenador organiza un plan de juego, sea cual sea el resultado del partido, seguro que algo habrá ganado: información acerca de cómo debe plantear el próximo encuentro. Esta es la forma más segura de aprender.
Hay tres razones por las que me gusta tanto esta cita:
- La primera, porque la mujer a la que se atribuye la cita (la protagonista de la película de Amenábar, "Ágora") pagó caro tomarse el derecho a pensar.
- La segunda, porque describe a la perfección la actitud que hay que adoptar a la hora de estudiar Matemáticas. No conviene para nada intentar aprender a realizar los ejercicios de memoria, cambiando por un 2 lo que en otro ejercicio era un 3, sin razonar... Debemos acostumbrarnos a hacer los ejercicios pensando, asegurándonos de que en cada paso tengamos un porqué, una razón de ser. Puede que nos equivoquemos, sí, pero si hemos hecho el esfuerzo de pensar una explicación en cada paso que damos, estamos en el camino correcto, y aprenderemos sin dificultad en cuanto nos den la explicación correcta. En cambio, memorizar ejercicios para luego hacer los demás por simple "sustitución", sin entender el contenido de fondo, es perder el tiempo.
- La tercera, porque esta frase ilustra una actitud que es conveniente adoptar en nuestra vida. Me parece altamente recomendable tener claro en cada momento qué estamos haciendo y por qué lo estamos haciendo (¿por qué voy al instituto?, ¿por qué me gusta ver la tele?, ¿qué gano si me llevo toda la tarde jugando al ordenador?, ¿verdaderamente soy "guay" por ir en el coche con la música puesta a todo volumen molestando a los demás?...) . No creo que sea la mejor opción ir en la vida dando tumbos, haciendo las cosas sin "saber por qué", simplemente porque los demás las hacen. Se trata de que llevemos a cabo nuestras acciones pensando, pues aunque nos equivoquemos, pensar de manera errónea es mejor que no pensar.
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