Examen de selectividad de Matemáticas II de Andalucía resuelto (2018)

Aquí la solución de la opción A.
Y en este otro enlace la de la opción B.

Derivabilidad de funciones a trozos

Para estudiar la derivabilidad de una función en un punto, sea a trozos o no, hay que usar la definición de derivada. El problema es que para determinadas funciones a trozos, el límite resultante puede ser relativamente complicado. Es por ello que los profesores de bachillerato solemos contar a los alumnos un truco...

El truco consiste, ni más ni menos, que en obtener la función derivada de f usando las reglas de derivación, en cada trozo, pero excluyendo los "bordes" del dominio de cada trozo, es decir, los puntos de cambio de trozo. Después bastará con comprobar que ambas derivadas "pegan bien", es decir, la recién obtenida función es continua.

Llegados aquí, pueden pasar dos cosas.
1. Si resulta que la función f' puede extenderse a continua (porque los trozos derivados pegan bien), pues afirmamos que la función f es derivable.
2. Si los trozos derivados no pegan bien, decimos que f no es derivable en ese punto.

Pues bien, lo afirmado en el punto 2 no es correcto. Imaginemos la función:

Esta función es derivable en 0, se puede comprobar. Pero su derivada es

que no es continua en 0.

Es decir, hay funciones derivables cuya derivada no es una función continua (es decir, los trozos de su derivada no pegan bien pero sí es derivable). Se dice que son funciones derivables pero no de clase $C^1$. Más aquí.

Entonces, ¿tenemos que renunciar a este maravilloso truco? ¿Hay que usar siempre la definición de derivada? No todo está perdido. Si los trozos no pegan bien pero los límites existen y son finitos, entonces sí podemos afirmar que la función no es derivable.

Veámoslo:
Sean $g$ y $h$ funciones continuas y derivables, y sea:
$
f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g( x) ) } & { x < c } \\ { h ( x ) } & { x \geq c } \end{array} \right.
$

Entonces, la derivada será:
$
f '( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g'( x) ) } & { x < c } \\ { h' ( x ) } & { x > c } \end{array} \right.
$

No sabemos si $f$ es, a priori, derivable en $c$ o no. Lo será si $\lim _ { x \rightarrow c } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }$ existe y es finito, es decir, existen:
$
L_1=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g( x ) - h \left(c \right) } { x -c }
$
y
$
L_2=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { f ( x ) - f \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { h( x ) - h \left(c \right) } { x -c }
$
y además son iguales y finitos. En caso contrario, no es derivable.

Supongamos que $\lim _ { x \rightarrow c^{-} }g'(x)=a \neq b=lim _ { x \rightarrow c^{+} }h'(x)$. Entonces, aplicando la regla de L'Hopital:

$
L_1=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g( x ) - h \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{-} } \frac { g'( x )  } { 1}=a
$
y
$
L_2=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { h( x ) - h \left(c \right) } { x -c }=\lim _ { x \rightarrow c^{+} } \frac { h'( x )  } { 1}=b
$
Por tanto, $L_1 \neq L_2$ y, por tanto, $f$ no es derivable en $c$.

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¿Y eso para qué sirve?

Siguiendo con la temática de la utilidad de las Matemáticas (pero esta vez un poco más en serio) voy a incluir un artículo que escribí para la edición de 2008 de El Barrio (libro publicado por el I.E.S. San Juan de Dios). Espero que lo leáis y me hagáis algún comentario crítico:

¿Y eso para qué sirve?

O también, ¿yo cuándo voy a utilizar eso? Esas son las preguntas que más suelo escuchar en las clases de Matemáticas. Y es normal. Suele ser lo habitual que uno no se encuentra un polinomio en medio de la calle, ni calcula raíces cuadradas para saber cuánto te van a devolver cuando pagas en la tienda. Si le preguntamos a alguien amablemente su edad, es cuando menos extraño que nos conteste “hace quince años mi edad era justo la tercera parte de la que tengo ahora…”.

En el día a día, a nadie le interesa saber “si un tren sale del punto A con una velocidad de 95 km/h y otro del punto B en dirección opuesta a 150 km/h, ¿a qué distancia de A chocarán?”... ¡por Dios, que alguien llame a los maquinistas por el móvil y acabamos con el problema!

Todos tenemos la sensación de que los problemas de Matemáticas no son auténticos problemas: son situaciones completamente anormales que nos piden que resolvamos mediante una receta que nos han enseñado previamente. Pensemos un ejemplo concreto: La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 148 años. El padre es 6 años mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 21 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

Este es un típico problema de sistemas de ecuaciones, que cualquier alumno de 4º de E.S.O. debería ser capaz de resolver. Ahora bien, ¿cuándo tendremos la necesidad de resolver este problema en la vida real? Sinceramente: nunca.

¿Por qué existen entonces tantos miles de profesores de Matemáticas?, ¿por qué nos amargan nuestra infancia con esa gran cantidad de sumas de fracciones, divisiones por Ruffini, cálculo de derivadas y demás técnicas refinadas de tortura?, ¿por qué las Matemáticas han existido desde hace más de 50 siglos? Pues aunque parezca mentira: por su UTILIDAD.

Para argumentar mi afirmación, necesito que nos remontemos a una época en la que todavía era difícil distinguir a un ser humano de cualquier otro primate. Hagamos un pequeño esfuerzo, e imaginémonoslo, corriendo por el medio del campo, sin agua corriente, sin calefacción en invierno y sin el Messenger whatsapp. Sufriendo cada día por la mañana temprano para cazar algo con que comer. Ahora centrémonos en dos individuos concretos de esta raza de cuasi-hombres. Uno de ellos no tiene ninguna habilidad matemática. El otro, en cambio, es capaz de contar hasta veinte (aritmética), y de distinguir algunas formas simples como triángulos (geometría). ¿Cuál de ellos está en condiciones de inventar una lanza con la que cazar mejor? Posiblemente, aquél que tiene un mínimo de intuición geométrica pueda diseñar una punta triangular para su lanza. ¿Quién será capaz de seleccionar zonas donde los árboles dan más frutos? Seguramente el que tiene más capacidad para contar.

Es decir, el conocimiento matemático ha proporcionado una ventaja para conseguir más alimentos, vivir más años y, por tanto, conseguir una sociedad más avanzada. Y esto no ha cambiado con el tiempo, sino más bien lo contrario. Pensemos en distintos hechos que se fueron sucediendo cuando la sociedad fue avanzando: comercio, reparto de tierras, transacciones económicas simples y, posteriormente, complejas, diseño de armas, trazado de mapas, navegación avanzada, conquista del espacio, programa de puntos de Movistar… todos estos hechos tienen en común una importante base matemática. O dicho de otra forma, el conocimiento matemático es el que ha permitido la gran mayoría (si no todos) de los descubrimientos de la Humanidad.

Circula por Internet una viñeta en la que varios personajes dicen:

- La Sociología no es más que Psicología aplicada.

- La Psicología no es más que Biología aplicada.

- La Biología no es más que Química aplicada.

- La Química no es más que Física aplicada.

- La Física no es más que Matemática aplicada, así que lo único importante son las Matemáticas.

Evidentemente, se trata de una exageración, pero algo de verdad sí que tiene. Las Matemáticas constituyen el soporte de todas las Ciencias, o dicho de otra forma, son las raíces del Árbol de la Ciencia, en la cual se apoyan todas las demás.

“Vale, y yo me lo creo”, estará pensando el lector. Reconozco que es difícil de creer que las Matemáticas sean tan importantes, pero hace falta mucha paciencia y horas de dedicación para que podamos comprender, por nosotros mismos, que esto es así. Pero la cuestión es que si queremos que la sociedad siga avanzando, que descubramos la máquina del tiempo y del teletransporte, ordenadores más rápidos y una nave que viaje a la velocidad de la luz, un robot que nos haga la comida y nos limpie la casa, debemos conocer, como sociedad, las Matemáticas.

“Muy bien, pero si yo no voy a inventar nada, ¿para qué tengo/he tenido que estudiarme tantísimos mecanismos para resolver ecuaciones y calcular derivadas?”. Principalmente, hay tres motivos para obligar a los niños y adolescentes a que estudien Matemáticas:

En primer lugar, porque un cierto nivel matemático debe formar parte de la cultura mínima de cada persona. Es decir, todos necesitamos poseer cierta “competencia matemática”. Hay un contenido matemático que sí vamos a utilizar, efectivamente, en nuestro día a día. ¿Ejemplos? Muchos: calcular lo que nos deben devolver al pagar en la tienda con un billete de cincuenta euros, ajustar la proporción de ingredientes de una receta de cocina, elegir la mejor opción de entre varias posibilidades al invertir nuestro dinero en el banco, hacer cálculos geométricos básicos para colgar un cuadro en la pared, o estimar la probabilidad de que nuestro equipo gane la liga cuando estamos hablando con nuestros amigos.

Las Matemáticas están presentes en nuestra vida cotidiana, lo queramos o las odiemos, nos gusten o nos den asco. Así que ya que están, deberíamos intentar llevarnos mejor con ellas.

El segundo motivo por el que es importante que nos llenen la cabeza con objetos matemáticos desde pequeñitos es el desarrollo de nuestra inteligencia. Los procesos que se llevan a cabo en esta materia requieren, como todos sabemos, de un considerable esfuerzo. Es fácil que acabemos fatigados cuando intentamos entender un ejercicio complicado de Matemáticas. ¿Sirve esto para algo aparte de para que Bayer venda más aspirinas? Pues sí. Un ejemplo: un deportista puede acabar destrozado tras una sesión de entrenamiento, pero es feliz porque sabe que gracias a ello habrá mejorado su capacidad. Pues del mismo modo, cuando nos enfrentamos, aunque sea sin éxito, a los complejos razonamientos y procesos a los que nos obligan los profesores de Matemáticas estamos mejorando nuestro intelecto. Estamos consiguiendo que nuestro cerebro madure, y se acostumbre a pensar con frialdad. Es un proceso lento, así que casi no podemos darnos cuenta. Pero lo cierto es que las típicas estructuras cerebrales de “si... entonces...”, “puesto que no.... entonces tampoco...”, o la simple capacidad de estructurar un proceso complejo en varios pasos simples, así como las ideas abstractas de “crecimiento”, “en el infinito” o “simplificación” se quedan grabadas en lo más profundo de nuestro pensar, aportando solidez a nuestras argumentaciones (aunque estén fuera del ámbito matemático).

Por último, otra razón para estudiar Matemáticas es su belleza. Puede parecer un poco exagerado, pero en ocasiones esta materia es divertida e incluso bonita. Las ideas que se nos presentan esconden la mayoría de las veces un derroche de ingenio que no pueden ser calificadas de otra forma sino de bellas. ”Pero entonces, ¿por qué me resulta tan tremendamente aburrido estudiar matemáticas?”, pensará, indignado, el paciente lector. La razón es la siguiente: para apreciar esta belleza es necesario estar entrenado.

Permítaseme un ejemplo: imaginemos que un amigo nuestro ha traído al pueblo a un primo suyo, que se trata de una persona perfectamente normal salvo por un pequeño detalle: en su vida ha oído hablar de un deporte llamado fútbol. Un día estamos viendo un partido con él, y alguno de los espectadores exclama: “¡Vaya pedazo de gol!, ¡ha sido un gol precioso!“ ¿No se quedará completamente extrañado de que llamemos “precioso” al hecho de que una persona golpee un objeto esférico hasta introducirlo entre tres palos? Seguramente se sentirá tan contrariado como nosotros cuando arriba hemos dicho que las Matemáticas son bonitas. Si lo pensamos, nos daremos cuenta de que lo que hace que este chaval no pueda apreciar la belleza del gol al igual que el resto de los espectadores es su “entrenamiento”. No entrenamiento deportivo, sino el que se produce por el hecho de haber visionado mil partidos de fútbol a lo largo de nuestra vida. Hablando claro: hemos tenido que ver antes muchos goles malos para que ahora podamos apreciar un buen gol.

Pues en Matemáticas, lo mismo. Es una disciplina que requiere dedicación y paciencia. Por supuesto que también es importante que los profesores nos sepan transmitir las ideas, de lo cual doy fe que no es una tarea fácil.

En definitiva, las Matemáticas constituyen, en comunión con las otras Ciencias, uno de los más grandes proyectos conjuntos de la Humanidad: el Conocimiento. Un proyecto que ha ido perfeccionándose generación tras generación, gracias a la aportación de una infinidad de personas gracias a las cuales debemos, en parte, las comodidades que disfrutamos hoy día. Y por ello es importante que conozcamos, al menos, una minúscula parte de ese vasto edificio. Y al que le guste, que lo compre.

Hay que cambiar la forma de enseñar matemáticas

He visto en el blog La ciencia es bella una conferencia de Dan Meyer que me ha encantado.


Coincido con el autor: hay que cambiar la forma de enseñar las matemáticas. Pero también creo que no podemos irnos al extremo opuesto, y dejar de lado el cálculo rutinario. Es muy difícil, pero merece la pena el esfuerzo porque, como dice el ponente: "Necesitamos gente capaz de resolver problemas".

El caso de Hellen Keller

La historia de Hellen Keller es un ejemplo brutal acerca de la importancia de la educación. Tuve noticia de esta historia a través del Panfleto Antipedagógico que cité en la entrada anterior. Se trata de un hecho real: una niña nacida en 1880 se vuelve ciega y sorda a los pocos meses de vida tras una rara enfermedad. La compasión de los padres hacia su hija hacen de ella una especie de animal, incapaz de vestirse sola, incapaz de comer como una persona, incapaz de comunicarse.


Los padres deciden contratar a una institutriz, Ana Sullivan, que, por medio de una férrea disciplina, consigue convertir a Hellen en una niña normal... Bueno, algo más que eso. Hellen fue a la universidad, y se graduó con honores. Más tarde, escribió libros e impartió ponencias sobre su vida. 


Hay una película llamada "El milagro de Ana Sullivan", en la que se narra cómo comenzó el renacimiento de Hellen. La recomiendo encarecidamente, especialmente a profesionales de la educación y a parejas que sean o vayan a ser padres.


Si la disciplina y la "mano dura" de Ana no se hubiese interpuesto entre el amor, cariño y compasión que los padres sentían por Hellen (lógicos, por otra parte), la niña no habría tenido vida, al menos una vida plena. Es decir, la exigencia, la disciplina, el esfuerzo, lejos de ser algo malo, fueron el medio que permitieron que una persona destinada a llevar una existencia animal consiguiese integrarse en la sociedad.


Lo que me enseña esta historia es que debemos exigir a nuestros jóvenes. Pueden dar más de sí. Ni la familia ni escuela deben ser conformistas con ellos. Podemos extraer mucho más de nuestros jóvenes, aunque es cierto que es más fácil pasar la mano y maleducar.


Ana enseñó a Hellen a comunicarse mediante el lenguaje de los sordomudos, primero, y luego la enseñó a hablar (¡varios idiomas!). Quien haya visto la película se habrá percatado de que Hellen no entiende para qué esos juegos de manos, que no tienen (para ella) ningún sentido. Y todos los familiares piden a la institutriz que sea más comprensiva, que desista, que no tiene sentido que obligue a Hellen a repetir esos símbolos pues para la niña no tienen significado. Y he aquí el milagro del cerebro humano: al cabo del tiempo la cabeza de Hellen se ilumina. Consigue asociar los símbolos a los conceptos, y se percata de la importancia de las enseñanzas de su maestra. Pues bien, todos somos como Hellen. Como dice Ricardo Moreno Castillo:


 “La inteligencia para aprender es muy temprana, pero la madurez necesaria para comprender lo importante que es aprender es muy tardía.”

Panfleto antipedagógico

Quizás sea de sobra conocido por todos, pero yo lo acabo de descubrir y creo que nunca viene mal darle un poco de publicidad. Se trata de un texto, el Panfleto antipedagógico, escrito por Ricardo Moreno Castillo.


Aunque hay detalles con los que no estoy plenamente de acuerdo, hace tiempo que no leía tanta cantidad de verdades escritas por centímetro cuadrado. Realmente impresionante. Lo he leído sin poder dejar de esbozar esa sonrisa que sale de forma natural cuando uno está pensando: "joder, está expresando con palabras todo lo que pienso". Todavía me faltan algunas páginas por leer, pero lo que llevo me parece que debería ser lectura  obligatoria para todo profesional de la enseñanza.


Gracias, Ricardo, por compartir tus ideas.

Pruebas de diagnóstico

Siento no poder estar publicando más entradas, pero el tiempo que tengo es finito (ojalá fuese más gordito). A partir del verano creo que podré ir publicando más entradas de la serie, pues tengo muchas ideas en mente.

Pero no podía dejar de mencionar que esta semana que entra tendremos en los institutos de Andalucía las pruebas de diagnóstico. En efecto, parece ser que la educación andaluza está enferma, y para curarla hay que saber qué tiene.

Mi corta experiencia no me permite juzgar estas pruebas con mucha fiabilidad. A priori me parece una buena idea: analizar el estado de salud cognitiva del alumnado en distintos momentos, para saber qué medidas adoptar. Además, al propio centro le puede servir de referencia el resultado obtenido, para saber si está haciendo las cosas bien o no, comparando su resultado con años anteriores. Algo parecido sucede con la selectividad: a mí personalmente me gusta saber si he hecho mis deberes debidamente, y el que los alumnos saquen un resultado aceptable me resulta gratificante.

No señor, no me parece una mala idea. Claro que algunos centros están más desfavorecidos socialmente que otros. Pero se trata de competir con uno mismo. Un poco de competencia siempre viene bien.

El problema es que quizás no se haga del todo bien. Hay mucha gente que recela de la utilidad de tales pruebas. Yo mismo, me planteo si este trabajo extra merece la pena. Además del descuadre que supone para los profesores, el desajuste de las aulas del centro y la pérdida de clases del alumnado afectado y del no afectado. Y encima corrige las pruebas cuanto antes y sin llevártelas a tu casa... Seguro que es mejorable.

Pero yo quiero romper una lanza en favor de las pruebas de diagnóstico, quizás en el futuro nos parezcan lo más normal del mundo.

La "belleza" secuestrada por la "utilidad"

Rebuscando en mis libros de la carrera he vuelto a leer el prólogo de Dominios Algebraicos Numéricos, del genial Antonio Aizpuru. Y he leído un párrafo que, como casi todos los suyos, no tiene desperdicio, y que transcribo aquí:

Quisiéramos aquí, hacer una reflexión que consideramos necesaria. Empezamos a echar de menos la existencia de una enseñanza claramente preuniversitaria y sin complejos, que sea amplia y académica. La enseñanza de las matemáticas es un problema que tiene que resolverse en su globalidad, desde los cuatro años del alumno hasta la finalización de sus estudios universitarios, los peldaños por donde el conocimiento del alumno avanza deben ser meditados para evitar los saltos bruscos. La paulatina degradación de la enseñanza preuniversitaria trae como primera consecuencia que el alumno no conozca ni el contenido elemental ni el método de las distintas disciplinas clásicas y por tanto que se encuentre desorientado a la hora de elegir sus estudios. Son ya muy numerosos los jóvenes que acceden a estudios científicos no habiendo estudiado, en casi ningún caso, una demostración matemática. Las matemáticas quedan así reducidas a una serie de reglas y operaciones carentes de sentido, nos parece que a esto se le llama ahora "matemática instrumental", pero realmente es "nada" y lo que es "nada" raramente puede ser instrumento de "algo". Empezamos a sospechar el que exista la tentación de reducir el último curso preuniversitario a una colección de reglas prácticas para superar con éxito el examen de ingreso en la universidad, prescindiendo de la enseñanza de los aspectos más hermosos de cada una de las disciplinas. La "utilidad" tiene ahora secuestrada a la "belleza", pero lo peor de todo es que además con frecuencia la tortura.

Se trata de una triste verdad que debemos ir invirtiendo poco a poco. Pero por desgracia, quince años después de que fuesen escritas, estas ideas parecen tener más vigencia que nunca.


Aprovecho para recomendar el libro anterior a todo aquél que quiera introducirse en el hermoso mundo de las matemáticas desde el completo rigor. Es una auténtica obra de arte.

Carta abierta de un IES

A continuación os pego una carta redactada por profesores de un instituto de secundaria. Me parece que es muy interesante, y que merece ser difundida: 

El miércoles, día 3 de febrero, se produjo un lamentable incidente en el IES Fuente Juncal, en el municipio onubense de Aljaraque, cuya víctima, de nuevo, volvió a ser un docente. Cuatro alumnos, de los que vienen al centro con lo puesto (en casa desconocen que han de llevar material escolar a clase, de ése que regalan), deciden entrar a deshora, una vez finalizado el recreo y de malos modos, todos a la vez al baño. La profesora, bajo el criterio que seguimos todos en el instituto, les conmina a entrar en el baño más próximo, el del gimnasio, de uno en uno. Ante tal ofensa, los alumnos se amotinan, acorralan a la docente y la insultan, colocando incluso una valla del gimnasio para que ésta no pase. Hasta aquí, una historia más, otra execrable página más para el anecdotario del profesorado (como la de la profesora agredida por una madre en el IES Fuentepiña, en Huelva capital, el viernes 29 de enero, por separar a su hija durante una pelea barriobajera en clase) que parece que ha y debe quedar en una mera sanción al alumno. Un mes a casa y, luego, pues si les apetece, que hagan otra, a ver si la siguiente es más sonada que la anterior.

Pero algo tiene que cambiar. Los profesores estamos hartos de ser el blanco fácil y gratuito de los desvergonzados, el blanco de ira -tras actuar de eterna guardería- de los padres y, en el mejor de los casos, unos pintamonas para el alumnado medio.

Para empezar, debiéramos hacer autocrítica; somos el colectivo más desunido e insolidario: no nos manifestamos ante agresiones, no presionamos a las Administraciones que venden nuestro pellejo al primer padre o madre que alza la voz, no reclamamos un pacto por la educación, ni nos manifestamos cuando en vez de gastar el dinero en profesores que sustituyan las bajas los tiran en ordenadores. Pero la larga historia de nuestras tragaderas es otro asunto para la reflexión y, llegados a este punto, si nadie va a ponernos en el sitio que nos corresponde, tendremos que hacerlo nosotros mismos.  

Evidentemente, ni políticos, funcionarios de la administración, sindicatos o padres van a hacerlo. ¿Cómo ponerse de otra parte que no sea la del todopoderoso alumno y sus omnipotentes padres? Porque ahí, señores políticos, administrativos y periodistas, entre otros, es donde tal vez encuentren la respuesta. Pero eso no, a los niños ni tocarlos y, por ende, a los padres, que son quienes votan. ¿Cómo vamos a decirles que cometen una continua y alevosa negligencia en su labor educativa como progenitores? ¿Cómo acusarles por la displicencia con la que dejan actuar a sus vástagos? ¿Cómo reñirles cuando les premian con una videoconsola, una moto o muchísimos euros para gastar sin freno en recompensa a los lamentos que les transmitimos desde los centros? ¿Cómo ratificar su complicidad cuando excusan esas “cosas de niños” que son insultar a profesores, pegar a compañeros o tirar la oportunidad de poseer una formación académica gratuita?

Es más, como puede que os voten –a unos u otros, inútil distinción-, pues, como medida preventiva, y sin exigir nada a cambio, siquiera que sean capaces de educar y dominar a sus hijos –para eso están los profesores-, se les ofrecen aulas matinales, comedores, clases gratuitas por las tardes, becas generosísimas, libros y, ahora, ordenadores. Eso sí, sin necesidad que esa multiplicidad de derechos vaya acompañado de ningún tipo de deber.

Llegados a este punto, el equipo educativo y el personal administrativo y de servicios del Centro exige la actuación inmediata de la Administración, la reposición social de nuestro prestigio en función de la labor que desempeñamos, el respaldo de los medios de comunicación y, ante todo, la expulsión inmediata de los alumnos que han violentado, en otra nueva ocasión, la dignidad de un colectivo injustamente ninguneado desde todos los estamentos sociales.

Profesores y profesoras, maestros y maestras, ¿hasta cuándo vamos a seguir esperando a que el próximo no seamos nosotros? Basta ya de permitir la indiferencia o, en el mejor de los casos, el desprestigio al que somos sometidos a diario. Somos, aunque tal vez no lo sepamos, uno de los colectivos con mayor poder en esta sociedad. Porque, ¿qué pasaría si nos pusiésemos en huelga sólo una semana? ¿O un mes? ¿Incluso indefinidamente? ¿Qué otra salida nos dejan? Ya está bien de que sólo salgamos en prensa para  que se cuestionen nuestras vacaciones, nuestro fracaso por los vergonzantes informes PISA o nuestra supuesta indolencia como  profesores quemados.

Nuestra unión es la única salida. En ningún lado se permite que a un trabajador le impidan llevar a cabo su trabajo, ¿por qué  nosotros sí lo permitimos? Sólo queremos que nos dejen trabajar y seamos reconocidos por ello (no nombramos siquiera la pérdida de poder adquisitivo que hemos sufrido en las últimas nóminas ni reclamamos subidas. Nadie que se elija ser docente aspira a hacerse rico).

La mayor crisis que puede sufrir un país no es la pérdida de riqueza, sino la de valores. Quien maltrata a sus mayores y maestros desprecia su futuro más inmediato y el esfuerzo que hicimos todos en un pasado, donde la educación precisamente no era un derecho, sino un privilegio.

Utilidad de las Matemáticas.

Para que luego digan que no valen para nada: