¿Dónde están, físicamente, las matemáticas?

 La inteligencia artificial ha resuelto las matemáticas. Al menos, eso es lo que se afirma en diversas redes sociales. No sé si es cierto, ni si las pruebas son suficientes para una afirmación tan categórica, pero probablemente lo será en unos años (¿quizás meses?). Y esto nos deja (a los matemáticos y físicos teóricos) en una posición incómoda: ¿cuál es nuestra razón de ser? ¿Para qué trabajamos?

En mi opinión, esta es una excelente noticia. Permítanme explicarlo con una analogía: el descubrimiento geográfico. Cuando las civilizaciones humanas exploraban nuevas tierras, se necesitaban varios trabajadores especializados, que participaban en cada expedición: constructores de caminos, constructores de viviendas, defensores, etc. Tenían que realizar tareas auxiliares fundamentales necesarias para el proyecto. Pero siempre había un personaje principal, un explorador líder, que traía consigo el conocimiento del nuevo territorio, que integraba los nuevos mapas con los ya conocidos, que les contaba a los demás lo que realmente había allí.

En la exploración matemática, los propios matemáticos deben realizar todas estas tareas (quizás repartidas entre varios coautores). Sus análogas, quiero decir: recopilar ejemplos para contrastar hipótesis, elaborar demostraciones, resolver problemas lógicos rutinarios, programar, escribir artículos y establecer conexiones entre diferentes ramas de las matemáticas. Al final, la IA será capaz de hacer todo esto e integrarlo en un artículo, en un nuevo conocimiento. Más rápido y mejor que nosotros.

¡Pero esto son buenas noticias! La IA limpiará los senderos, construirá carreteras y cartografiará el terreno a la velocidad del rayo. Sin embargo, al final, se necesita un ser humano real para proclamar la conquista del territorio. Aún será necesario que el nuevo conocimiento sea asimilado por la conciencia colectiva de la humanidad.

Imaginemos que construimos superrobots y los enviamos a colonizar Marte y otros planetas, o incluso otros sistemas solares. Están ahí fuera, construyendo casas, abriendo caminos y estableciendo infraestructuras (atmósfera artificial, producción de alimentos, etc.). La galaxia está conquistada, ¡pero nosotros mismos nunca visitamos estos nuevos mundos! Una matemática completamente resuelta por la IA, pero no leída ni asimilada por los humanos (como grupo), es como un conjunto de casas vacías en un planeta lejano.

Necesitamos ir a observar los nuevos paisajes, asimilarlos, comunicarlos, enseñarlos a otros. No basta con tener el conocimiento encapsulado en libros o artículos; el conocimiento real debe fluir de persona a persona. Por cierto, esto no es nuevo. Quizás la demostración de la hipótesis de Riemann ya esté enterrada en una pila de preimpresiones, escritas por algún matemático desconocido. ¿Qué sentido tiene tener el conocimiento real encerrado en papeles?

Las matemáticas, físicamente, residen en la mente de los matemáticos. Por lo tanto, deben estar en constante movimiento, reescritas, rediscutidas, reenseñadas, repensadas. Ahora más que nunca.

La inflación y el bachillerato

 

¿Las notas de "selectividad" reflejan el nivel real del alumnado? Para mí, no. Y el problema es claro: las notas de acceso a la universidad están tan infladas que ya no sirven para distinguir a los buenos alumnos de los brillanes. Todo el mundo lo sabe, pero seguimos como si nada. Mi análisis es el siguiente:

 

1. Notas altas por todas partes.
   Lo que ocurre con las reseñas de restaurantes en Google es exactamente lo que pasa con las notas: si todos los restaurantes tienen entre 4 y 5 estrellas, la puntuación deja de decir nada. Pues con el bachillerato igual: si todo el mundo está entre 8'5 y 10, una décima arriba o abajo depende de cualquier detalle sin importancia. No es un reflejo del nivel, sino del contexto en el que se corrige, de la presión de las familias, del centro… o de que ese día el profesor estuviera más blando.

2. Competencia entre centros.
   Muchos centros se comparan entre sí. Si los demás dan buenas notas, “yo no voy a perjudicar a mis alumnos”, piensa más de uno. Ojo, yo incluído. Y así, poco a poco, todos inflamos para no quedarnos atrás. El resultado es una competición absurda en la que nadie quiere ser el “malo” que evalúa con rigor, porque parece que está castigando injustamente a su alumnado.

3. El dilema del prisionero.
   Es justo eso: si todos bajaran el nivel de notas, la situación mejoraría. Pero cada centro, pensando por separado (sin cooperación), cree que es mejor inflar porque “los demás lo harán”. Y al final todo el mundo infla y el sistema entero pierde. Es una trampa en la que caemos incluso quienes sabemos que está mal. Yo mismo he cedido alguna vez cuando he dado segundo de bachillerato, para no “dejar fuera” a alguien que, comparado con otros centros, saldría perjudicado. 

4. Consecuencias reales.
   Esto no es una anécdota. Afecta directamente a quién entra en las carreras más exigentes. Medicina, Matemáticas, ingenierías… ya no están seleccionando a los mejores preparados, sino a los que vienen de centros donde se aprieta un poco menos o donde las notas tienden a subir por sistema. Eso es malo para las universidades y para la sociedad: nos quedamos sin los mejores profesionales en puestos donde realmente importan.

Y además se produce un efecto perverso: alumnos buenos que podrían estudiar algo que les gusta acaban eligiendo carreras “de nota alta”, aunque no tengan vocación real por ella, solo por “aprovechar la nota”. Como si la elección de estudios fuera un descuento del supermercado que hay que usar antes de que caduque. Y recíprocamente, alumnos brillantes con una alta vocación no pueden acceder a la carrera que persiguen por culpa de esta quasi-aleatoriedad (yo lo he visto).

¿Qué se puede hacer?

Menos peso de la nota de bachillerato y más peso de pruebas externas, que sean iguales para todos. Es lo único que se me ocurre.

Si queremos un sistema justo, que premie esfuerzo y capacidad, y que seleccione bien para las carreras donde importa la preparación real, hay que replantearse cómo se califican los dos últimos años antes de la universidad. El buenismo, la competencia entre centros y el miedo a “perjudicar” a los alumnos ha convertido la nota en una señal casi inútil. Si no cambiamos eso, seguiremos ordenando a los estudiantes de manera casi aleatoria. Y eso, a la larga, lo pagamos todos.

Machine learning

 

Integrales primeras sin factores integrantes ni simetrías

Mi último trabajo, First integrals without integrating factors or symmetries, acaba de ser publicado con Springer Nature en Qualitative Theory of Dynamical Systems. Se puede leer aquí.

 

Encontrar cantidades conservadas, es decir, integrales primeras, es una de las técnicas clave para comprender una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Esto siempre ha requerido o bien descubrir una simetría de la ecuación (al estilo de la teoría de Lie), o bien hallar un factor integrante. Ambos enfoques son potentes, aunque tienen sus dificultades: la detección de simetrías puede fallar, y resolver las ecuaciones en derivadas parciales para los factores integrantes suele ser imposible en la práctica.

En este artículo propongo una ruta distinta: un método geométrico basado en la integrabilidad del sistema de Pfaff naturalmente asociado a una EDO. Formulamos el problema en el lenguaje de los fibrados de jets y las formas de contacto, evitando tanto las simetrías como los factores integrantes. En su lugar, convertimos la búsqueda de una integral primera en la resolución de un sistema de EDPs derivado del teorema de Frobenius.

Lo que hace interesante a este enfoque no es que sea “más fácil” (de hecho, puede ser más difícil computacionalmente), sino que funciona en situaciones donde las técnicas clásicas pueden fallar. El artículo lo demuestra en EDOs de segundo, tercer y cuarto orden, incluyendo ecuaciones sin simetrías de Lie.

El resultado es una herramienta complementaria para las EDOs rebeldes. Su naturaleza algorítmica lo convierte en un candidato natural para implementaciones en álgebra computacional (Maple, Mathematica), donde la prueba sistemática de ansätze podría ampliar aún más sus posibilidades de éxito.

Visualizar funciones holomorfas

 He realizado una pequeña visualización aquí, para visualizar cómo la noción de holomorfía determina el comportamiento local de una función del plano en el plano. Se observa cómo las funciones holomorfas se comportan, vistas desde cerca (localmente) como multiplicar por un número complejo. Es decir, los cuadraditos se convierten en "nuevos cuadraditos" a los que se les ha aplicado una pequeña rotación y un pequeño cambio de escala. 

 

 

Las no holomorfas estiran el cuadradito, o bien lo aplastan, o bien le invierten su orientación (estas son las funciones antiholomorfas, como el conjugado).

Puede ocurrir que, aparentemente, el cuadrado no parezca haberse convertido en un cuadrado, aun siendo la función elegida holomorfa. Pero basta con afinar la cuadrícula: recordemos que estamos hablando de un comportamiento local. 

 

Mejorar el rendimiento en Matemáticas

Imagen hecha con ChatGPT

Se habla mucho de los malos resultados en Matemáticas que obtiene reiteradamente nuestro país en las distintas pruebas de evaluación internacionales. Ante tanto "rasgado de vestiduras" y tanta "digresión política", mi subconsciente ha empezado a bombardearme constantemente con la pregunta: "¿qué harías tú para mejorar el nivel del alumnado en Matemáticas? Normalmente no me gusta meterme en estas diatribas, pero voy a poner esto por escrito para acallar esa mosca puñetera (mi subconsciente) y que me deje en paz.  
Creo que son medidas muy sencillas, de sentido común, y fáciles de implementar (y baratas, que la gasolina está muy cara y hay que ahorrar). 

Las siguientes ideas pueden entenderse como una especie de Pirámide de Maslow, es decir, están ordenadas según el impacto que tendrían como resultado.  
1. Que los maestros de primaria sean especialistas. No parece de sentido común el permitir que los encargados de introducir a nuestros pequeños en el precioso mundo de las matemáticas sean, en su mayoría, personas que han huido de ellas de manera temprana. Como profesor de secundaria observo que la gran mayoría de los estudiantes de magisterio provienen de algún bachillerato "de letras puras". Pienso que esta titulación debería estar separada en dos especialidades: ciencias y letras. Y para acceder a cada una de ellas se debería haber cursado el bachillerato correspondiente. Ojo, no digo que no haya buenos maestros actualmente que, habiendo estudiado un bachillerato de letras, se hayan esforzado y hayan aprendido a disfrutar de la disciplina y de su enseñanza. Pero las probabilidades de la situación contraria (maestros provenientes de letras que, cuando tienen que impartir matemáticas tiendan, casi inconscientemente, a pasar de puntillas) son muy altas, y multiplicado por la cantidad de maestros que hay en la totalidad del territorio nacional da como resultado millones de alumnos y alumnas que no están siendo correctamente atendidos matemáticamente.  
Además, en el pensamiento colectivo está instaurada la falacia de pensar que las matemáticas de primaria son fáciles, cuando es todo lo contrario: son las más difíciles de enseñar. Hay que conocer bastante bien la disciplina para saber a dónde va dirigido todo el proceso de enseñanza de las matemáticas, y que no se pierda tiempo en absurdeces como que un niño de 10 años sepa escribir con letras el número "cuatrocientos veintitrés millones doscientos dieciocho mil novecientos treinta y cuatro", y que sin embargo no tenga cálculo mental para estimar aproximadamente cuánto es 253 más 148.  
Por supuesto, deberían existir oposiciones específicas para las especialidades de magisterio de ciencias y de letras, y un sistema de convalidaciones entre ambas especialidades. De esta manera no se cierran puertas a la persona que encuentre su vocación tardía.  

2. Criterios claros. Es esta precisamente la principal carencia que tienen todos los currículos educativos que he tenido el gusto de experimentar. No queda, en absoluto, claro ni lo que el docente tiene que enseñar ni lo que el alumno tiene que aprender.  
Un ejemplo de lo que dice la ley que tiene que saber un alumno de segundo ciclo de primaria:  
"Criterio 5.1 Realizar conexiones entre los diferentes elementos matemáticos, aplicando conocimientos y experiencias propios."  
Permítaseme ser el niño de la fábula del El nuevo traje del emperador: yo no lo entiendo. Es decir, entiendo gramaticalmente esa frase, pero no entiendo que este tipo de criterios sean los ladrillos básicos para medir el aprendizaje del alumnado. Yo propongo algo mucho más sobrio, mucho más minimalista, mucho menos sofisticado:  
Criterio 1. Saber sumar de manera exacta en papel  
Criterio 2. Saber restar de manera exacta en papel  
Criterio 3. Saber estimar sumas mentalmente.  
Criterio 4. Saber resolver problemas sencillos.  
Criterio 4. ...  
Creo que se pilla la idea. Y esto acompañado de ejercicios tipo, que sirvan de inspiración al docente y que permitan ajustar la dificultad. Los profesores de 2º de Bachillerato tenemos la suerte de contar con exámenes de selectividad de años anteriores, que te permiten tener muy claro qué tienes que enseñar y con qué nivel de dificultad. Pues algo similar debería haber para cada curso.  
 
3. Repetición del alumnado. Se ha estigmatizado la repetición. En teoría, no se quiere perjudicar a ese alumno introvertido, con problemas de integración, y que si repite se verá "solo" o desajustado emocionalmente por tratar con compañeros de menor edad. Se me ocurren dos contraargumentos:  
a. Puede que esto ocurra en algunos casos, pero he visto cómo algunos alumnos han mejorado tras repetir un curso, pues igual que no todos damos el estirón físico al mismo tiempo, no todos damos el estirón intelectual con la misma edad.  
b. Por beneficiar a ese hipotético alumnado, las trabas que tenemos los profesores para hacer repetir a alguien han terminado por perjudicar al 95% restante del alumnado. El espíritu humano es perezoso por naturaleza (evolutivamente ha sido una ventaja el ahorrar energía). Y a falta de una penalización clara por la vagancia (por ejemplo repetir curso), el alumnado tiene la tendencia a esforzarse menos. Ante una bajada global de esfuerzo, el profesor no puede menos que bajar su nivel de expectación, lo cual se traduce en un menor nivel educativo.

4. Pruebas externas. Los exámenes de selectividad condicionan el curso de 2º de Bachillerato. Eso puede ser bueno y malo, no voy a entrar a debatir eso pues sería tema para otro artículo. Pero lo cierto es que la presencia de esta prueba externa asegura un mínimo de calidad en la formación. Alumnado y profesorado rinden, en general, a más nivel, y están "unidos contra un enemigo común". Implementar pruebas externas en cursos previos sería muy interesante.

 

En definitiva, mejorar el nivel en Matemáticas no requiere soluciones grandilocuentes, sino medidas concretas, críticas y de sentido común: maestros mejor formados, criterios claros y operativos, consecuencias educativas reales como la repetición, y mecanismos externos que aseguren estándares mínimos. Si se quiere cambiar el resultado, hay que atreverse a cambiar el proceso.

Al profesor que fue mi Maestro

Hay pocas cosas que pueda decir con total seguridad. Y una de ellas es que Paco Grau fue el mejor profesor que he tenido. Cuando me han preguntado cuál creo que es la asignatura más importante, siempre he dicho que Filosofía. En ninguna otra materia aprendí tanto, ninguna otra formación me sirvió más para ser "una persona". Pero con el tiempo estoy terminando por darme cuenta de que, quizás, no era por la asignatura, sino por el profesor que la impartió. 

Paco Grau, con tres sesiones semanales durante dos años, se convirtió en una de las personas que más ha influido en mi personalidad. Me enseñó a leer a los clásicos, sin miedo, sin complejos, tratándolos de tú a tú. Me abrió los ojos a ese mundo infinito, ese jardín de El País de las Maravillas de Alicia, que es el Conocimiento Humano. De hecho aún no he salido de él. En mi cabeza resuenan todavía, casi a diario, todo lo que aprendí de Platón, de Descartes, de Wittgenstein, de Nietzsche. Personas que intentaron buscar respuesta a preguntas que aún no se han resuelto, y cuyo planteamiento es lo que nos hace humanos. No creo que haya un día de mi vida en el que no haya usado algo de lo que aprendí de ellos.
 

El trabajo de profesor algunas veces es el mejor que se puede tener, pero la mayoría de las veces es muy ingrato. Tienes que estar, constantemente, imaginándote, convenciéndote, suponiendo, en la oscuridad, que lo que estás haciendo está bien, que sirve para algo. Aunque muchas veces tengas que enfrentarte a alumnos, a padres, incluso a algunos compañeros o inspectores. Pero hay otras (pocas) veces en las que ves una pequeña luz en el horizonte que te da la razón, que te dice que estuvo bien lo que hiciste, que tuvo sentido, que fue para algo. Espero que estas palabras sean, para él, una de esas veces.

P.D.: Él fue, por supuesto, el que me enseñó la frase de Platón ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ ("que no entre nadie que no sepa geometría"), que modifiqué para el título de este blog (como cuento aquí).

Agradecimientos tesis

El pasado 8 de abril defendí mi tesis doctoral: "Nuevos métodos para la integración de distribuciones de campos de vectores".

Dejo aquí la sección de agradecimientos, traducida al castellano:

Al reflexionar sobre el camino que ha llevado a la realización de esta tesis, me viene a la mente una frase célebre atribuida a Isaac Newton: "Si he visto más lejos, ha sido subiéndome a hombros de gigantes". Sin embargo, en mi opinión esta afirmación podría modificarse para incluir no sólo a los gigantes: "Si he visto más lejos, es estando sobre los hombros de gigantes---y hormigas".

Me explico. Las contribuciones menos reconocidas, pero igualmente vitales, de numerosos individuos han sido la base sobre la que se ha construido el progreso académico. Estas hormigas, a menudo sin nombre ni reconocimiento, son similares a los innumerables matemáticos cuyas silenciosas pero esenciales contribuciones han allanado el camino para descubrimientos más importantes.

Podemos pensarlo con la analogía de la evaporación de un líquido, donde algunas moléculas emergen de la superficie debido al impulso proporcionado por otras. O como Neil Armstrong, que fue el primer humano en pisar la luna, pero nunca lo habría hecho sin el enorme equipo de ingenieros, matemáticos y preparadores físicos anónimos que tenía detrás.

No estoy insinuando que Gauss, Einstein o Terry Tao sean moléculas comunes, como el resto de nosotros. Pero también es cierto que, en mi opinión, sin los demás nunca habrían alcanzado las alturas que alcanzaron. Es más, es fácil ser Gauss y dedicarse a las matemáticas. Lo difícil es, pienso yo, dedicarte a esta tarea sabiendo que estás contribuyendo (infinitesimalmente) al desarrollo de la humanidad, pero nunca saldrás del anonimato, nunca nadie te lo agradecerá. Es como ser aficionado del Cádiz: nunca ganarás una liga, pero disfrutas del viaje.


Esta sección de agradecimientos pretende servir de recordatorio de que los logros en la ciencia rara vez son esfuerzos individuales, sino más bien una sinfonía colectiva de esfuerzos; incluso si, al final, es "el individuo" quien tiene que dar el último paso. Y mi reconocimiento es un homenaje a todas esas hormigas que han ayudado a la humanidad a progresar.

Finalmente, quiero sacar de ese anonimato, aunque sea sólo durante la breve burbuja temporal existente mientras estas palabras están en la mente del lector, a quienes han influido directamente en el viaje matemático de esta hormiga que soy yo, ya que ellos han sido mis gigantes "locales". Quiero agradecer especialmente a Conchi Muriel y Adrián Ruiz, cuya orientación y apoyo han sido fundamentales. Pero también quiero nombrar a otros matemáticos como José Antonio Álvarez, Juan Luis Romero, Luis Giraldo, Antonio Aizpuru, Quico Benítez, Paola Morando, Artur Sergyeyev,... y maestros como Luis Fernández y Don Andrés Agüeras, cuyas enseñanzas y consejos han moldeado profundamente mi comprensión y apreciación de las matemáticas.

Tengo la esperanza de que esta tesis sea vista como el trabajo de una hormiga que contribuyó infinitesimalmente al futuro de las matemáticas y el conocimiento humano.

Tablas de multiplicar con penaltis. Proyecto Scratch

 

Botella de Klein

En dos dimensiones, una línea cerrada siempre separa un área interior de un área exterior.

Del mismo modo, en el espacio 3D una superficie cerrada siempre separa el interior del exterior:

¿O no es cierto?

Ama las matemáticas

 

Historia interactiva. Proyecto Scratch

 Una historia interactiva con el gato de Scratch como protagonista. 3º de ESO

Aprendizaje automático 2 (proyecto Scratch)

 En esta ocasión en 4º de ESO hemos usado un algoritmo genético para que el gato aprenda a esquivar obstáculos. El botón verde sirve para "lanzar" al gato, y la flecha para cambiar el circuito.

Aprendizaje automático 1 (proyecto Scratch)

 En 4º de ESO hemos visto cómo hacer un algoritmo (genético) para que el gato aprenda a lanzar a canasta. Puedes cambiar la canasta de sitio y ver cómo para corrigiendo el lanzamiento.

Paseo espacial (proyecto Scratch)

 El siguiente proyecto de Scratch ha sido realizado por una alumna de 2º de ESO del IES San Juan de Dios.

 

 

La ruta al castillo (proyecto Scratch)

Estamos trabajando las historias interactivas en 2º de ESO, para introducir el pensamiento computacional. Un juego de ordenador es, en esencia, como una obra de teatro, en la que los actores tienen un guión un poco más complicado de lo normal, pues tienen frases "condicionales", quedependen de lo que "opine" el público. El siguiente proyecto de Scratch ha sido creado por un alumno de 2º de ESO del IES San Juan de Dios.

Deformaciones topológicas

La topología, también llamada “geometría de goma”, no distingue un donut de una taza de café.

Observa que por mucho que lo deformemos, el donut, cuyo nombre oficial en matemática es toro, nunca podrá ser convertido en una esfera.  

 

Paradójicamente, para un topólogo un toro “de verdad” sí es lo mismo que una esfera: 

 

¿O no es cierto? 

 

Simulación de un frigorífico

En clase de 4º de ESO, en la materia Matemáticas Computacionales, hemos hecho un simulador de frigorífico con Scratch 3.0. Hemos resuelto numéricamente la Ley del enfriamiento de Newton. Y le hemos  incorporado un mecanismo de control automático de la temperatura. Además, la puerta puede abrirse y cerrarse, con lo que el frigorífico pasa más tiempo consumiendo.

Sobre el placer de Entender

Sé que es difícil entender que me lleve tanto tiempo encerrado, sentado, leyendo, investigando. Y es que es un placer muy difícil de describir para el que no lo vive en primera persona, pero me gustaría hacer un intento.
Entender algo cuando llevas mucho tiempo intentándolo y no lo consigues es una sensación análoga a intentar pelar una naranja que está un poco verde, y no tienes ningún instrumento, solamente tus uñas. Supón además que las tienes recién cortadas, con lo cual no puedes clavarla para empezar a pelarla.
Le das vueltas y vueltas a la naranja, pero no eres capaz de empezar, intentas clavar la uña pero se resbala, la naranja está verde y la piel es muy lisa. Pero un día, descubres un pequeño hueco en la piel de la naranja, una fisura que no habías visto antes. Quizás la naranja ha madurado del tiempo que ha pasado, o te han crecido las uñas, pero lo cierto es que esa vez eres capaz de sacar un cachito de piel. Esa sensación es indescriptible, es eufórica.
Y lo mejor de todo, es que es solamente el principio. Cada día que pasa eres capaz de ir arrancando más trozos de piel, vas entendiendo nuevas partes de ese "objeto" que querías entender. Es un disfrute que puede durar incluso una o dos semanas, cada día entendiendo nuevas partes con más facilidad. Estás deseando girar la naranja y encontrar un nuevo trozo que le puedas arrancar.
Finalmente, tienes la naranja pelada entera, y puedes comerla. Pero eso es lo de menos, no proporciona tanto placer: lo importante es el proceso anterior.

Trabajo de investigación

 

 

 Hace años (2007) realicé el trabajo de investigación conducente a la obtención del DEA. Aunque ahora me dedico a otros temas, lo dejo aquí por si pudiese tener interés para alguien:

El haz tangente de foliaciones holomorfas

Por otra parte, recuerdo que tengo un nuevo blog, con contenido más técnico y en inglés.